实现伪多项式DP子集和

Implementing Pseudopolynomial DP Subset Sum

本文关键字：子集 DP 多项式 实现      更新时间：2023-10-16

我尝试实现维基百科页面上为子集和的伪多项式时间算法提出的算法，其中我们的目标是确定是否存在求和为零的{x_1，…，x_N}的非空子集。因此，我们设置了一个从负数之和(a(到正数之和(B(的范围，并创建一个矩阵来保持1≤i≤N和a≤s≤B的值Q(i，s(。然后，为了填充它，我们应该首先设置Q(1，s(：=(x_1==s(，对于递归情况，我们设置Q(i，s(:=Q(i−1，s

这是我的镜头，inp包含输入集。我在变量arrindex中跟踪s的"真实"索引，因为s可能是某个负数，我不能在负数处索引向量。

vector<vector<bool>> result (inp.size(), vector<bool>(abs(B-A)+1)); // initialize results matrix
for(int s = A,arrindex=0; s <= B; s++,arrindex++){
if(s == inp[0])
result[0][arrindex] = true;
for(int i = 1; i < inp.size(); i++){
for(int s = A,arrindex=0; s <= B; s++,arrindex++){
// CHECK: Q(i, s) := Q(i − 1, s) or (xi == s) or Q(i − 1, s − xi),  for A ≤ s ≤ B
if(s == inp[i] || result[i-1][arrindex] || result[i-1][abs((s - inp[i])-A)])
result[i][arrindex] = true;
}
}

我的尝试给出了一个答案，但似乎经常不正确。举个简单的例子，如果我的输入是{-2,1}，答案应该是否定的，但我得到的矩阵是

1 0 0 0
1 1 0 1

我认为这会表示"是"，对吧？所以我的问题是，我是否错误地实现了这一点？还是我的解释不正确？

我认为术语result[i - 1][abs((s - inp[i]) - A)]是不正确的。应该是：

A <= s - inp[i] && s - inp[i] <= B && result[i - 1][s - inp[i] - A]

您可以使用一个简单的lambda函数来模拟矩阵来避免嵌套的vector：

const auto n_rows = inp.size();
const auto n_cols = static_cast<std::size_t>(B - A + 1);
auto q = [qm = std::vector<bool>(n_rows * n_cols), n_rows, A]
(auto i, auto j) mutable
{ return qm[i + (j - A) * n_rows]; };
for (auto j = A; j <= B; ++j)
q(0, j) = (inp[0] == j);
for (std::size_t i = 1; i < n_rows; ++i)
for (auto j = A; j <= B; ++j)
q(i, j) = (inp[i] == j || q(i - 1, j) || 
(A <= j - inp[i] && j - inp[i] <= B && q(i - 1, j - inp[i])));
const bool has_zero_subset = q(n_rows - 1, 0);
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