这个方程 x + y = x & y + x |y 成立(假设 x， y > 0)？

How does this equation x + y = x & y + x | y hold true ( assuming x, y > 0)?

本文关键字：gt 假设 方程 成立      更新时间：2023-10-16

我最近参加了一个代码力量竞赛。在比赛的编辑部分，我看到了按位运算符之间的一种美丽关系，即 x + y = x & y + x |y.我还不知道证据。我拿了几个数字，看看这个等式是否成立。我很兴奋地知道这个证据。我在网上查了一下，找不到任何有意义的参考资料。请帮我找到证据，或者至少给我这个美丽方程式背后的直觉。提前致谢

假设你正在做a + b。

请注意，将a的第 i 位数字(从最右侧的数字开始计数(与b的第 i 位数字交换不会影响总和。示例：123 + 456 == 156 + 423.无论选择什么基数，这都有效，因此它也适用于二进制加法。

接下来，请注意，从a + b到a&b + a|b的转换可以通过以上述方式(二进制(交换一些数字来完成。如果a[i] == 1和b[i] == 0，则交换a[i]并b[i];之后，a变得a&b，b变得a|b。因此，这种转换不会影响结果。

因此，每当您尝试计算按位计算时，最简单的方法是为所有情况制作图表，尤其是当变量只有这么小时。

A | B | A AND B | A OR B |     A + B     | (A AND B) + (A OR B)
---+---+---------+--------+---------------+----------------------
0 | 0 |    0    |    0   |   0 + 0 = 0   |     0 + 0 = 0
---+---+---------+--------+---------------+----------------------
0 | 1 |    0    |    1   |   0 + 1 = 1   |     0 + 1 = 1
---+---+---------+--------+---------------+----------------------
1 | 0 |    0    |    1   |   1 + 0 = 1   |     0 + 1 = 1
---+---+---------+--------+---------------+----------------------
1 | 1 |    1    |    1   |   1 + 1 = 2   |     1 + 1 = 2

现在，您可能能够看到：

  • 如果A == B，则A + B和A & B + A | B本质上是相同的。
  • 如果A != B，那么A & B + A | B可能会改变两个值的顺序，但当然，A+B=B+A，所以它们本质上与while相同。

对于x和y，你可以把位拆开，把它们加在一起，得到相同的答案，对吗？
例：

0101 (x) + 0110 (y) == (0100 + 0001) + (0100 + 0010)

现在。 查看逻辑运算符：
a & b为您提供两个数字中的位数(读取：计数为 2(a | b提供任一数字中的位(读取：计数 ≥1(

所以基本上，你把任何一个数字中的位，把它们相加：

0111 == 0100 (in x, y) + 0010 (in y) + 0001 (in x)

您还将两个数字中的位(即需要计数两次的位(相加，并将其添加到总和中：

0100 == 0100 (in x, y)

因此，您最终会添加出现一次、一次的位和出现两次、两次的位：

0111 (bits that appear once or twice) + 0100 (bits that appear twice)
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