比较C++中的double，同行评审

Comparing double in C++, peer review

本文关键字：评审 double C++ 中的 比较      更新时间：2023-10-16

我一直有比较两个相等值的问题。周围有一些类似fuzzy_compare(double a, double b)的函数，但我经常没能及时找到它们。所以我想为double构建一个包装类，只为比较运算符：

typedef union {
uint64_t i;
double d;
} number64;
bool Double::operator==(const double value) const {
number64 a, b;
a.d = this->value;
b.d = value;
if ((a.i & 0x8000000000000000) != (b.i & 0x8000000000000000)) {
if ((a.i & 0x7FFFFFFFFFFFFFFF) == 0 && (b.i & 0x7FFFFFFFFFFFFFFF) == 0)
return true;
return false;
}
if ((a.i & 0x7FF0000000000000) != (b.i & 0x7FF0000000000000))
return false;
uint64_t diff = (a.i & 0x000FFFFFFFFFFFF) - (b.i & 0x000FFFFFFFFFFFF) & 0x000FFFFFFFFFFFF;
return diff < 2;    // 2 here is kind of some epsilon, but integer and independent of value range
}

其背后的理念是：首先，比较符号。如果符号不同，数字也不同。除非所有其他位都为零。也就是说，将+0.0与-0.0进行比较，这应该是相等的。接下来，比较指数。如果这些不同，数字就不同。最后，比较尾数。如果差值足够低，则值相等。

这似乎有效，但可以肯定的是，我想进行同行评审。很可能是我忽略了什么。

是的，这个包装类需要所有运算符重载的东西。我跳过了，因为它们都很琐碎。相等运算符是这个包装类的主要用途。

此代码有几个问题：

  • 零的不同边上的小值总是比较不相等，无论相距多远。

  • 更重要的是，-0.0与+epsilon相比不相等，但+0.0与+epsilon相比相等(对于某些epsilon)。这真的很糟糕。

  • NaN呢？

  • 具有不同指数的值比较不相等；步骤"；分开(例如，1之前的double与1比较不相等，但1之后的比较相等…)

具有讽刺意味的是，最后一点可以通过不区分指数和尾数来固定：所有正浮点的二进制表示正是它们的数量级！

看起来你只想检查两个浮点是否是某个数目的"浮点"；步骤"；分开地如果是这样的话，也许这个助推功能会有所帮助。但我也会质疑这是否真的合理：

  • 最小的正非标准化比较是否应该等于零？它们之间仍然存在许多(非规范化)浮动。我怀疑这是你想要的。

  • 如果对预期大小为1e16的值进行运算，则1应与0相比较，即使所有正double的一半在0和1之间。

使用相对+绝对ε通常是最实用的。但我认为最值得一看的是这篇文章，它更广泛地讨论了比较浮动的主题，我无法将其纳入这个答案：

https://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/

引用其结论：

知道自己在做什么

没有银弹。你必须做出明智的选择。

  • 如果你与零进行比较，那么基于相对ε和ULP的比较通常是没有意义的。您需要使用绝对ε，其值可能是FLT_EPSILON和计算输入的一些小倍数。也许吧
  • 如果你正在与一个非零值进行比较，那么基于相对ε或ULP的比较可能就是你想要的。你可能想要一些FLT_EPSILON的小倍数作为你的相对ε，或者一些小数量的ULP。如果你确切地知道你要与哪个数字进行比较，那么可以使用绝对ε
  • 如果你正在比较两个可能为零或非零的任意数字，那么你需要厨房水槽。祝你好运，速度快

最重要的是，你需要了解你在计算什么，算法的稳定性如何，以及如果误差大于预期，你应该怎么做。浮点数学可能非常精确，但你也需要了解你实际计算的是什么。

存储到一个联合成员中，然后从另一个成员中读取。这导致了别名问题(未定义的行为)，因为C++语言要求不同类型的对象不别名。

有几种方法可以消除未定义的行为：

  1. 去掉并集，只将memcpy和double转化为uint64_t。便携式方式
  2. 用[[gnu::may_alias]]标记联合成员i类型
  3. 在存储到联合成员d和从成员i读取之间插入编译器内存屏障

这样框定问题：

  • 我们有两个数字，a和b，它们是用浮点运算计算的
  • 如果它们是用实数数学精确计算的，我们就会有a和b
  • 我们想比较a和b，得到一个答案，告诉我们a是否等于b

换句话说，您正在尝试更正计算a和b时发生的错误。当然，总的来说，这是不可能的，因为我们不知道a和b是什么。我们只有CCD_ 29和CCD_。

你提出的代码可以追溯到另一种策略：

  • 如果a和b彼此接近，我们将接受a等于b。(换句话说：如果a接近b，则可能a等于b，并且我们的差异只是因为计算错误，因此我们将在没有进一步证据的情况下接受a=b。)

此策略存在两个问题：

  • 此策略将错误地接受a等于b，即使这不是真的，因为a和b很接近
  • 我们需要决定a和b的接近程度

您的代码试图解决后者：它正在建立一些关于a和b是否足够接近的测试。正如其他人所指出的，它存在严重缺陷：

  • 如果数字有不同的符号，它会将其视为不同的数字，但即使a为正，浮点运算也会导致a为负，反之亦然
  • 如果数字的指数不同，它会将其视为不同的数字，但浮点运算可能会导致a的指数与的指数不同
  • 如果数字的差异超过固定数量的ULP(最低精度单位)，它会将其视为不同的数字，但浮点运算通常会导致a与a相差任何数量
  • 它采用IEEE-754格式，并且不必要地使用C++标准未定义的行为进行混叠

该方法存在根本缺陷，因为它不必要地篡改了浮点表示。根据a和b确定a和b是否相等的实际方法是，在给定a和b的情况下，找出a与b具有哪些值集，以及这些值集中是否有任何共同值。

换言之，给定a，a的值可能在某个区间内，(a−eal，a+ear)(即，从a到a的所有数字减去左侧的一些误差加右侧的一些误差)，并且，给定b，b值可能在某种区间内，(b−ebl，b+ebr)。如果是，则要测试的不是某些浮点表示属性，而是两个间隔(a−eal、a+ear)和(b−ebl，b+ebr。

要做到这一点，您需要知道或至少有关于错误eal、e<1sub>ar，e-<2sub>bl和e-br的边界。但是浮点格式并不能修复这些错误。它们不是2个ULP或1个ULP，也不是按指数缩放的任何数量的ULP。它们取决于CCD_ 60和CCD_。一般来说，误差的范围可以从0到无穷大，也可以是NaN。

因此，要测试a和b是否相等，需要分析可能发生的浮点算术错误。总的来说，这很困难。它有一个完整的数学领域，数值分析。

如果你已经计算出了误差的界限，那么你就可以使用普通的算术来比较区间。不需要拆开浮点表示并使用位。只需使用普通的加法、减法和比较运算。

(这个问题实际上比我上面允许的更复杂。给定一个计算值a，a的势值并不总是位于一个区间内。它们可以是任意的点集。)

正如我之前所写的，没有一个通用的解决方案来比较包含算术错误的数字：0 1 2 3。

如果a和b可能相等，一旦你计算出错误边界并编写了一个返回true的测试，你仍然会遇到测试也接受假阴性的问题：即使a与b不相等，它也会返回true。换句话说，您刚刚替换了一个错误的程序，因为它拒绝相等，即使a和b在其他情况下是相等的，因为它在a与b不相等的情况下接受相等。这是没有通用解决方案的另一个原因：在一些应用程序中，接受不相等的数字是可以的，至少在某些情况下是这样。在其他应用程序中，这是不好的，使用这样的测试会破坏程序。

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