了解向量乘法

Understanding vector multiplication

本文关键字：向量 了解      更新时间：2023-10-16

我必须在 c++ 中使用向量执行乘法，因此例如，要将数字 123 和 528 相乘，我必须将每个数字存储在向量中并将它们相乘。我的导师提供了乘法算法。下一段的第一行可能看起来有点令人困惑，但我想让你知道，我只是在重载运算符*以使用向量在两个数字之间执行乘法。

ubigint：：operator* 中的乘法通过分配一个新向量进行，该向量的大小等于其他两个操作数的大小之和。如果你是大小为 m 的向量，而 v 是大小为 n 的向量，则在 O(mn(speed 中，在一个参数上执行一个外循环，在另一个参数上执行一个内循环，像手动一样将新的部分积添加到乘积 p 中。该算法可以用数学方式描述如下：

p ←Φ   
for i ∈ [0, m):  
c ← 0  
for j ∈ [0, n):  
d ← p_{i+ j} + u_iv_j + c  
p_{i+ j} ← d % 10  
c ← ceil(d÷10)  
p_{i+n} ← c

请注意，区间 [a，b( 是指集合 {x|a ≤ x

问题是我不明白这个算法是如何工作的。例如，什么是u_iv_j？谁能澄清这一点？

将您的算法视为对大数相乘的正式描述：

for i ∈ [0, m):                  # For every digit of the first number
c ← 0                         # Initialize the carry
for j ∈ [0, n):               # For every digit of the second number
d ← p_{i+j} + u_i * v_j + c # Compute the product of the digits + carry + previous result
p_{i+j} ← d % 10            # extract the lowest digit and store it
c ← ceil(d÷10)              # carry the higher digits
p_{i+n} ← c                     # In the end, store the carry in the
# highest, not yet used digit

我省略了一些细节(操作顺序，...(，但如有必要，我可以添加它们。

编辑：为了澄清我的意思，我将展示代码对56 * 12的作用：p初始化为 0

i = 0:                       # Calculate 6 * 12
carry = 0
j = 0:                     # Calculate 6 * 2
d = p{0} + 6 * 2 + carry # == 0 + 12 + 0
p{0} = d % 10            # == 2
carry = ceil(d/10)       # == 1
j = 1:                     # Calculate 6 * 1 + carry
d = p{0} + 6 * 1 + carry # == 0 + 6 + 1
p{1} = d % 10            # == 7
carry = ceil(d/10)       # == 0
p{2} = carry               # == 0
i = 1:                       # Calculate 5 * 12
carry = 0
j = 0:                     # Calculate 5 * 2
d = p{1} + 5 * 2 + carry # == 7 + 10 + 0
p{1} = d % 10            # == 7
carry = ceil(d/10)       # == 1
j = 1:                     # Calculate 5 * 1
d = p{2} + 5 * 1 + carry # == 0 + 5 + 1
p{2} = d % 10            # == 6
carry = ceil(d/10)       # == 0
p{3} = carry               # == 0

对于 i = 0，我们计算 6 * 12 =72，对于 i = 1，我们计算 5 * 12 = 60。

由于 5 在第二个数字中，我们实际上计算了 50 * 12 = 600。现在我们需要添加结果(即 72 + 600(，这就是为什么我提到之前的值：第一次运行循环后，72 存储在p中，要添加 600，我们只需将本地产品u_i * v_j添加到p{i+j}中的现有值，同时保留进位。

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