如何计算浮点数据类型的范围、最大值、最小值

对于double，尾数(又名有效数)是 53 位，指数是 11 位。假设我们使用公式计算浮点值m*2^e其中m是一个 53 位整数，则指数范围为 [-1075,971]。这些值由 IEEE 754 标准指定。

所以最大值是

(2^53-1)*2^971

最小严格正值为

2^-1075

^意味着权力。

我假设编译器使用 IEEE 754 标准，这不是C++要求的，但在实践中总是如此。

本答案仅讨论 IEEE-754 二进制交换格式。

首先，我们必须了解浮点数的编码格式。IEEE-754 指定二进制浮点数用以下方式表示：

• 一个 1 位符号S，
• 一个 W位偏置指数e，以及
• 一个 p位有效数f，主要用t=p−1 位编码。

指数 e 是通过添加偏差来编码的，因此存储在 w位中的实际值 E是E=e+偏差。偏差指定为 2^{k−p−1−1}，其中k是格式的宽度(例如 32 位float为 32)。¹对于 16 位和 32 位宽度，精度 p 指定为 11 和 24，对于其他宽度，精度p指定为 k-round(4•log2(k))+13。请注意，k−p= k−(p−1)-1 等于指数域w的宽度，因为取整个编码(k位)并去除有效数编码(p−1 位)，符号位(1 位)只留下指数编码，因此偏差2^k−p−1−1 等于 2^w−1−1

。二进制表示形式中具有所有 1 的指数字段的值 2^w−1 保留用于特殊用途(NaN 和 ∞)。因此，该字段对于普通数的最大值为E= 2^w−2。那么表示的指数可以具有的最大值是e=E−偏差= (2 w−2) − (2 w−1−1) = 2^w−1−1。(最大正态指数值等于偏差。此外，零的指数字段是特殊的，在这种情况下，e被指定为 1偏差。

有效数f是通过将其尾随的 p−1 位放在有效数字段中来存储的。前导位是从指数字段推断出来的。如果指数不为零，并且不是包含所有 1 的保留值，则有效数f指定为 1 + T•2^1−p，其中T是有效数字段中t位存储的二进制数。请注意，当有效数字段的所有位都设置时，其最大值为 2^p−1−1。

如果指数为零，则有效数f指定为 0 +T•2^1−p。

当指数字段没有特殊的全一值或零值时，此编码表示的值为 (−1)^S• 2^e•f。当指数字段为零时，表示的值为 (−1)^S• 2^1-偏差•f。

现在我们可以计算出最小值和最大值。当然，以这种格式表示的最小值和最大值是 −∞ 和 +∞，最小幅度为 0。但我们也对最小非零量级和最大有限数感兴趣。(最小有限数是最大有限数的取反。

当符号位为零时，最大有限值发生，指数具有其最大的非特殊值，有效数字段设置了所有位。然后e= 2^w−1−1，T= 2^p−1−1。所以f= 1 + (2^p−1−1)•2 1−p = 2 − 2 1−p，表示的数字是 (−1)⁰• 2 2^w−1−1• (2 − 2^1−p)。

对于 32 位宽度，w= 8 且p= 24，因此最大值为 2 2 8−1−1 • (2 − 2 1−24) 2 127 • (2 − 2−²³) = 2¹²⁸⁻2¹⁰⁴。

当指数编码E的最小值为零，有效数编码T的最小非零值为 1 时，将出现最小非零量级。然后指数e= 1 −偏差，有效数f= 0 +T•2 1−p = 1•2 1−^p= 2^1−p。表示的数字是 (−1)^S• 2 1−^bias• 2^1−p。

对于 32 位格式，偏置= 127 且p= 24，因此最小非零幅度为 2 1−127 • 2¹⁻²⁴= 2⁻¹⁴⁹。

脚注

¹仅指定宽度为 16、32、64 和至少为 128 的 32 倍数的格式。