曼德布洛特集合在大O表示法方面的时间复杂度

Time complexity of mandelbrot set in term of big O notation

本文关键字：表示 方面 时间复杂度 布洛特 集合      更新时间：2023-10-16

>我试图找到曼德布洛特集合的简单实现的时间复杂度。 使用以下代码

int main(){
int rows, columns, iterations;
rows = 22;
columns = 72;
iterations = 28;
char matrix[max_rows][max_columns];
for(int r = 0; r < rows; ++r){
for(int c = 0; c < columns; ++c){
complex<float> z;
int itr = 0;
while(abs(z) < 2 && ++itr < iterations)
z = pow(z, 2) + decltype(z)((float)c * 2 / columns - 1.5,
(float)r * 2 / rows - 1);
matrix[r][c]=(itr== iterations ? '*' : '.');
}
}

现在查看上面的代码，我根据大 O 表示法对时间复杂度进行了一些估计，并想知道它是否正确

因此，我们正在创建一个通过嵌套循环遍历它的 2d 数组，并且在每个元素上我们执行一个操作并设置该元素的值，如果我们以 n 作为输入大小，我们可以说输入越大，复杂性就越大，因此 rowsxcolumns 的时间复杂度将是 O(rxc)，然后我们再次遍历它以进行打印输出， 那么时间复杂度是多少？是O(rxc)+O(rxc)吗？当我们对行和列进行乘法和减法时，函数本身对时间复杂度有一定影响吗？如果是，那又如何呢？

几乎，给定r行、c列和i迭代，则运行时间为O(r*c*i)。这应该是微不足道的，看看abs(z)<2是否不存在。但是有了这个额外的条件，不清楚内部while循环总共会运行多少次。是的，它会少于r*c*i倍，所以O(r*c*i)仍然是上限。但也许我们可以做得更好。假设对于任何r,c，您在同一域上以不同的分辨率计算曼德布洛特集，那么 while 循环将运行k*r*c*i次，以实现一些常量k介于曼德布罗特面积和 1 --> 代码的运行时间Θ(r*c*i)，O(r*c*i)无法改进。

如果您以固定分辨率计算[-c,c]x[-r,r]域上的集合，那么对于任何|z|>2，abs(z)<2在第一次迭代后都会中断。然后O(r*c*i)就不会受到严格限制，如果要准确估计，应考虑此条件(作为所有循环条件)。

请不要使用malloc，std::vector更安全。

在 big-O 表示法中，O(rxc)+O(rxc) 折叠为 O(rxc)。

由于最大迭代计数也是一个输入变量，因此它也会影响复杂性。特别是，内部循环最多运行 n 次迭代，因此，复杂度为 O(rxcxn)。

所有其他运算都是常数，特别是complex<float>的乘法和加法。这些操作本身始终是 O(1)，这不会增加整体复杂性。

相关文章：