部分透视/高斯消除 - 交换列而不是产生错误输出的行

我正在尝试实现一个快速程序来解决线性方程组。程序从文件中读取输入，然后将上三角形系统和解决方案写入文件。它没有透视，但是当我尝试实现透视时，它会产生不正确的结果。作为示例输入，下面是以下方程组：

w+2x-3y+4z=12
2w+2x-2y+3z=10
x+y=-1
w-x+y-2z=-4

我希望结果为 w=1、x=0、y=-1 和 z=2。当我不旋转时，我得到这个答案（x 上有一些舍入误差）。当我添加枢轴时，我得到相同的数字，但顺序错误：w=2，x=1，y=-1 和 z=0。

我需要做什么才能按正确的顺序排列它们？我在某处错过了一步吗？我需要进行列交换而不是行，因为我稍后需要将其调整为需要它的并行算法。以下是执行消除和反向替换的代码：

void gaussian_elimination(double** A, double* b, double* x, int n)
{
    int maxIndex;
    double temp;
    int i;
    for (int k = 0; k < n; k++)
    {               
        i = k;
        for (int j = k+1; j < n; j++)
        {
            if (abs(A[k][j]) > abs(A[k][i]))
            {
                i = j;
            }
        }       
        if (i != k)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
            {
                temp = A[j][k];
                A[j][k] = A[j][i];
                A[j][i] = temp;
            }           
        }

        for (int j = k + 1; j < n; j++)
        {
            A[k][j] = A[k][j] / A[k][k];
        }
        b[k] = b[k] / A[k][k];
        A[k][k] = 1;
        for (i = k + 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = k + 1; j < n; j++)
            {
                A[i][j] = A[i][j] - A[i][k] * A[k][j];
            }
            b[i] = b[i] - A[i][k] * b[k];
            A[i][k] = 0;
        }
    }
}
void back_substitution(double**U, double*x, double*y, int n)
{
    for (int k = n - 1; k >= 0; k--)
    {
        x[k] = y[k];
        for (int i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            y[i] = y[i] - x[k]*U[i][k];
        }
    }
}