不与V互质的最大数

Maximum number not coprime to V

本文关键字：最大数 不与      更新时间：2023-10-16

给定N个整数的固定数组a，其中N<100000，并且阵列的所有元素也小于或等于100000。A中的数字不是单调增加的、连续的或以其他方式方便地组织的。

现在，我得到了多达100000个形式为{V，L，R}的查询，其中在每个查询中，我需要找到最大的数A[I]，其中I在与给定值V不互质的范围[L，R]中。(也就是说，GCD(V，A[I](不等于1。(

如果这是不可能的，那么也要告诉在给定范围内的所有数字都是V的互质。

一种基本方法是从L和R之间的每个A[i]迭代，并用值V计算GCD，从而找到最大值。但是，如果查询数量也可以达到100000，还有更好的方法吗。在这种情况下，每次检查每个数字的效率太低了。

示例：

  • 设N=6，数组为[1,2,3,4,5,4]，设V为2，范围[L，R]为[2,5]
  • 那么答案是4

说明：

GCD(2,2)=2
GCD(2,3)=1
GCD(2,4)=2
GCD(2,5)=1

所以这里的最大值是4。

由于您有一个大数组，但只有一个V，因此从分解V开始应该会更快。在那之后，你的互质测试变成了简单地求取V的每个唯一因子的余数。

Daniel Bernstein的《在本质上线性的时间内分解成协时》(Journal of Algorithms 54:1，1-30(2005((回答了一个类似的问题，并被Nadia Heninger的《新研究：无需恐慌可分解密钥——只需注意你的Ps和Qs》用于识别坏的(重复因子(RSA模。这里的问题是在一组非常大的数字之间找到共同的因子，而不是一次一对。

假设

V = p_1*...*p_n

其中p_i是素数(您可以将其限制为不同素数(。现在答案是

result = -1
for p_i:
    res = floor(R / p_i) * p_i
    if res >= L and res > result:
        result = res

因此，如果你能快速分解V，那么这将是非常有效的。

EDIT我没有注意到数组不必包含所有整数。在这种情况下，对其进行筛选，即给定素数p_1。。。，p_n创建一个"反向"筛(即范围[L, R]中素数的所有倍数(。然后你可以把这个筛子和你的初始数组做一个交集。

EDIT2要生成所有倍数的集合，可以使用以下算法：

primes = [p_1, ..., p_n]
multiples = []
for p in primes:
    lower = floor(L / p)
    upper = floor(R / p)
    for i in [lower+1, upper]:
        multiples.append(i*p)

重要的是，从数学上得出，V与不在multiples中的[L, R]范围内的每个数是互素的。现在您只需执行：

solution = -1
for no in initial_array:
    if no in multiples:
        solution = max(solution, no)

请注意，如果将result实现为一个集合，则if no in result:检查为O(1)。

示例假设V = 6 = 2*3和initial_array = [7,11,12,17,21]以及L=10和R=22。让我们从倍数开始。根据算法，我们得到

multiples = [10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 12, 15, 18, 21]

前7个是2的倍数(在[10，22]范围内(，后4个是3的倍数(位于[10，2]范围内(。由于我们处理的是集合(std::set？(，因此不会有重复(12和18(：

multiples = [10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 15, 21]

现在浏览initial_array并检查multiples中的值。我们得到最大的这样的数字是CCD_ 19。事实上，CCD_ 20与CCD_。

对A的每个元素进行因子运算，并为每个可能的素因子存储包含该因子的数字的排序列表。

给定一个数n包含O(logn(素数，该列表将使用O(nlogN(内存。

然后，对于每个查询(V，L，R(，搜索V中的每个素因子，在[L，R]中包含该因子的最大数是多少(这可以通过简单的二进制搜索来完成(。

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