给定 (a， b） 计算 k 的最大值，使得 a^{1/k} 和 b^{1/k} 是整数

Given (a, b) compute the maximum value of k such that a^{1/k} and b^{1/k} are whole numbers

本文关键字：整数 最大值 计算 给定 使得      更新时间：2023-10-16

我正在编写一个程序，试图找到 k> 1 的最小值，使得 a 和 b 的第 k 个根(都给定)等于整数。

这是我的代码片段，为了澄清，我已经对其进行了注释。

int main()
{
// Declare the variables a and b.
double a;
double b;
// Read in variables a and b.
while (cin >> a >> b) {
int k = 2;
// We require the kth root of a and b to both be whole numbers.
// "while a^{1/k} and b^{1/k} are not both whole numbers..."
while ((fmod(pow(a, 1.0/k), 1) != 1.0) || (fmod(pow(b, 1.0/k), 1) != 0)) {
k++;
}

几乎，我读了 (a， b)，我从 k = 2 开始并递增 k，直到 a 和 b 的第 k 个根都与 0 mod 1 全等(这意味着它们可以被 1 整除，因此是整数)。

但是，循环无限运行。我尝试过研究，我认为这可能与精度错误有关;但是，我不太确定。

我尝试过的另一种方法是更改循环条件以检查 a^{1/k} 的下限是否等于 a^{1/k} 本身。但同样，这可能是由于精度误差，这是无限运行的。

有谁知道我该如何解决这个问题？

编辑：例如，当(a，b)= (216,125)时，我希望k = 3，因为216^(1/3)和125^(1/3)都是整数(即5和6)。

这不是一个编程问题，而是一个数学问题：

如果a是实数，k是正整数，如果a^(1./k)是整数，则a是整数。(否则目的是玩弄近似误差)

因此，最快的方法可能是首先检查a和b是否是整数，然后进行素数分解，使得 a=p 0 e0*p1e1* ...，其中pi是不同的素数。

请注意，要使1/k 成为整数，每个 ei也必须能被 k 整除。换句话说，k 必须是 ei的公约数。如果 b1/k是整数，则 b 的素幂也必须如此。

因此，最大的k是a和b的所有ei的最大公约数。

使用您的方法，您将遇到大量问题。所有 IIEEE 754 二进制 64 浮点数(x86 上的双精度情况)都有 53 个有效位。这意味着所有大于 253的双精度都是整数。

函数pow(x,1./k)将为两个不同的x产生相同的值，因此使用您的方法，您必须有错误的答案，例如数字 55*290和 35*2120完全可以用双精度表示。算法的结果是k=5.您可能会在这些数字中找到k的值，但您也会找到 55*290-249和 35*2120的k=5，因为 pow(55*290-249,1./5)==pow(55*290)。在这里演示

另一方面，由于只有 53 个有效位，双精度的素数分解是微不足道的。

浮点数不是数学实数。计算是"近似的"。请参阅 http://floating-point-gui.de/

你可以用类似fabs(fmod(pow(a, 1.0/k), 1) - 1.0) > 0.0000001的东西替换测试fmod(pow(a, 1.0/k), 1) != 1.0(并使用各种这样的而不是0.0000001;另请参阅std：：numeric_limits：：epsilon，但要谨慎使用它，因为pow可能会在其计算中给出一些错误，并且1.0/k也会注入不精确性 - 细节非常复杂，深入研究IEEE754规范)。

当然，你可以(并且可能应该)定义你的bool almost_equal(double x, double y)函数(并使用它而不是==，并使用它的否定而不是!=)。

根据经验，切勿测试浮点数的相等性(即==)，但请考虑它们之间足够小的距离;也就是说，将像x == y(分别为x != y)这样的测试替换为类似fabs(x-y) < EPSILON(分别为fabs(x-y) > EPSILON)，其中EPSILON是一个小的正数，因此测试一个小的 L1距离(对于相等，以及足够大的距离来表示不相等)。

并避免整数问题中的浮点数。

实际上，预测或估计浮点精度是非常困难的。您可能需要考虑像 CADNA 这样的工具。我的同事Franck Védrine是静态程序分析仪估计数值误差的专家(例如，参见他在TERATEC 2017关于Fluctuat的演讲)。这是一个困难的研究课题，另见D.Monniaux的论文《验证浮点计算的陷阱》等。

浮点错误在某些情况下确实造成了人命损失(或损失数十亿美元)。搜索网络以获取详细信息。在某些情况下，计算数字的所有数字都是错误的(因为错误可能会累积，最终结果是通过组合数千个操作获得的)！与混沌理论有一些间接关系，因为许多程序可能有一些数值不稳定。

正如其他人所提到的，比较相等的浮点值是有问题的。如果您找到一种直接使用整数的方法，则可以避免此问题。一种方法是将整数提高到k次幂，而不是取第k个根。细节留给读者作为练习。

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