这种计算 32 位整数中设置位数的算法如何工作

好的，让我们逐行浏览代码：

第 1 行：

i = i - ((i >> 1) & 0x55555555);

首先，常量0x55555555的意义在于，使用Java/GCC风格的二进制文字表示法编写)，

0x55555555 = 0b01010101010101010101010101010101

也就是说，它所有的奇数位(将最低位计为位 1 = 奇数)都1，并且所有偶数位都0。

因此，表达式((i >> 1) & 0x55555555)将i位右移 1，然后将所有偶数位设置为零。 (等价地，我们可以先用& 0xAAAAAAAA将所有i的奇数位设置为零，然后将结果向右移动一位。 为方便起见，我们将此中间值称为j。

当我们从原始i中减去这个j时会发生什么？ 好吧，让我们看看如果i只有两个位会发生什么：

i           j         i - j
----------------------------------
0 = 0b00    0 = 0b00    0 = 0b00
1 = 0b01    0 = 0b00    1 = 0b01
2 = 0b10    1 = 0b01    1 = 0b01
3 = 0b11    1 = 0b01    2 = 0b10

嘿！ 我们已经设法计算了两位数字的位数！

好的，但是如果i设置了两个以上的位怎么办？ 事实上，很容易检查i - j的最低两位是否仍由上表给出，第三位和第四位，第五位和第六位也是如此，等等。 特别：

• 尽管有>> 1，i - j的最低两位不受i的第三位或更高位的影响，因为它们会被& 0x55555555屏蔽j;

• 因为j的最低两位永远不会有比i更大的数值，减法永远不会借用i的第三位：因此，i的最低两位也不能影响i - j的第三位或更高位。

事实上，通过重复相同的参数，我们可以看到，这一行的计算实际上将上表应用于并行i的 16 个两位块中的每一个。 也就是说，在执行此行后，新值i的最低两位现在将包含原始值i中相应位之间设置的位数，接下来的两个位也是如此，依此类推。

第 2 行：

i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333);

与第一行相比，这一行非常简单。 首先，请注意

0x33333333 = 0b00110011001100110011001100110011

因此，i & 0x33333333采用上面计算的两位计数并每隔一秒丢弃一次，而(i >> 2) & 0x33333333在将i右移两位后执行相同的操作。 然后我们将结果加在一起。

因此，实际上，此行的作用是获取原始输入的最低两位和第二低两位的位数，在前一行上计算，并将它们相加以得出输入的最低四位的位数。 同样，它对输入的所有 8 个四位块(= 十六进制数字)并行执行此操作。

第 3 行：

return (((i + (i >> 4)) & 0x0F0F0F0F) * 0x01010101) >> 24;

好了，这是怎么回事？

嗯，首先，(i + (i >> 4)) & 0x0F0F0F0F与前一行完全相同，只是它将相邻的四位位数相加，以给出输入的每个八位块(即字节)的位数。 (在这里，与上一行不同，我们可以将&移到加法之外，因为我们知道八位位数永远不会超过 8，因此可以容纳在四位而不会溢出。

现在我们有一个由四个 8 位字节组成的 32 位数字，每个字节包含原始输入的该字节中的 1 位数字。 (我们将这些字节称为A、B、C和D。 那么当我们将这个值(我们称之为k)乘以0x01010101时会发生什么？

好吧，自0x01010101 = (1 << 24) + (1 << 16) + (1 << 8) + 1以来，我们有：

k * 0x01010101 = (k << 24) + (k << 16) + (k << 8) + k

因此，结果的最高字节最终为：

• 由于k项，其原始值加上
• 由于k << 8项，下一个较低字节的值加上
• 由于k << 16项，第二个较低字节的值加上
• 由于k << 24项，第四个也是最低字节的值。

(一般来说，也可以有来自较低字节的进位，但由于我们知道每个字节的值最多为 8，我们知道加法永远不会溢出并创建进位。

也就是说，k * 0x01010101的最高字节最终是输入的所有字节的位计数之和，即 32 位输入数字的总位计数。 然后，最后的>> 24只是将此值从最高字节向下移动到最低字节。

只需将0x01010101更改为0x0101010101010101，将>> 24更改为>> 56，即可轻松扩展到 64 位整数。事实上，相同的方法甚至适用于 128 位整数;然而，256 位需要添加一个额外的移位/添加/掩码步骤，因为数字 256 不再完全适合 8 位字节。

我更喜欢这个，它更容易理解。

x = (x & 0x55555555) + ((x >> 1) & 0x55555555);
x = (x & 0x33333333) + ((x >> 2) & 0x33333333);
x = (x & 0x0f0f0f0f) + ((x >> 4) & 0x0f0f0f0f);
x = (x & 0x00ff00ff) + ((x >> 8) & 0x00ff00ff);
x = (x & 0x0000ffff) + ((x >> 16) &0x0000ffff);

这是对Ilamari回答的评论。 由于格式问题，我将其作为答案：

第 1 行：

i = i - ((i >> 1) & 0x55555555);  // (1)

这一行是从这句更容易理解的行派生出来的：

i = (i & 0x55555555) + ((i >> 1) & 0x55555555);  // (2)

如果我们打电话

i = input value
j0 = i & 0x55555555
j1 = (i >> 1) & 0x55555555
k = output value

我们可以重写(1)和(2)以使解释更清晰：

k =  i - j1; // (3)
k = j0 + j1; // (4)

我们想证明 (3) 可以从 (4) 派生。

i可以写成其偶数位和奇数位的相加(将最低位计为位 1 = 奇数)：

i = iodd + ieven =
= (i & 0x55555555) + (i & 0xAAAAAAAA) =
= (i & modd) + (i & meven)

由于meven面具清除了最后一点i， 最后一个等式可以这样写：

i = (i & modd) + ((i >> 1) & modd) << 1 =
= j0 + 2*j1

那是：

j0 = i - 2*j1    (5)

最后，将 (5) 替换为 (4) 我们实现 (3)：

k = j0 + j1 = i - 2*j1 + j1 = i - j1

这是对耶尔回答的解释：

int SWAR(unsigned int i) {
i = (i & 0x55555555) + ((i >> 1) & 0x55555555);  // A
i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333);  // B
i = (i & 0x0f0f0f0f) + ((i >> 4) & 0x0f0f0f0f);  // C
i = (i & 0x00ff00ff) + ((i >> 8) & 0x00ff00ff);  // D
i = (i & 0x0000ffff) + ((i >> 16) &0x0000ffff);  // E
return i;
}

让我们用A行作为我解释的基础。

i = (i & 0x55555555) + ((i >> 1) & 0x55555555)

让我们重命名上面的表达式，如下所示：

i = (i & mask) + ((i >> 1) & mask)
= A1         + A2 

首先，不要将i视为 32 位，而是 16 组的数组，每个组 2 位。A1是大小为 16 的 count 数组，每个组包含1s 的计数，位于i中相应组的最右侧位：

i        = yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx
mask     = 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
i & mask = 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x

同样，A2正在"计数"i中每个组的最左边位。请注意，我可以将A2 = (i >> 1) & mask重写为A2 = (i & mask2) >> 1：

i                = yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx
mask2            = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
(i & mask2)      = y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0
(i & mask2) >> 1 = 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y 0y

(请注意，mask2 = 0xaaaaaaaa)

因此，A1 + A2将A1数组和A2数组的计数相加，得到一个包含 16 个组的数组，每个组现在包含每个组中的位数计数。

转到 B 行，我们可以按如下方式重命名该行：

i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333)
= (i & mask)       + ((i >> 2) & mask)
= B1               + B2

B1 + B2遵循与以前A1 + A2相同的"形式"。i不再视为 16 组 2 位，而是 8 组 4 位。与之前类似，B1 + B2将B1和B2的计数相加，其中B1是组右侧的1s 计数，B2是组左侧的计数。 因此，B1 + B2是每个组中的位数。

C 到 E 行现在变得更容易理解：

int SWAR(unsigned int i) {
// A: 16 groups of 2 bits, each group contains number of 1s in that group.
i = (i & 0x55555555) + ((i >> 1) & 0x55555555);
// B: 8 groups of 4 bits, each group contains number of 1s in that group.
i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333);
// C: 4 groups of 8 bits, each group contains number of 1s in that group.
i = (i & 0x0f0f0f0f) + ((i >> 4) & 0x0f0f0f0f);
// D: 2 groups of 16 bits, each group contains number of 1s in that group.
i = (i & 0x00ff00ff) + ((i >> 8) & 0x00ff00ff);
// E: 1 group of 32 bits, containing the number of 1s in that group.
i = (i & 0x0000ffff) + ((i >> 16) &0x0000ffff);
return i;
}