计算二阶巴特沃斯低通滤波器的系数

Calculate Coefficients of 2nd Order Butterworth Low Pass Filter

本文关键字：低通滤波器 计算      更新时间：2023-10-16

使用，

采样频率：10kHz
截止频率：1kHz

如何实际计算下面差分方程的系数？

我知道差分方程将是这种形式，但不知道如何实际计算出系数b0、b1、b2、a1、a2的数值

y(n)  =  b0.x(n) + b1.x(n-1) + b2.x(n-2) + a1.y(n-1) + a2.y(n-2)

我最终将在C++中实现这个LPF，但我需要知道如何首先实际计算系数，然后才能使用它

开始吧。ff是频率比，在您的情况下为0.1：

const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff);
const double q=sqrt(2.0);
b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita);
b1= 2*b0;
b2= b0;
a1 = 2.0 * (ita*ita - 1.0) * b0;
a2 = -(1.0 - q*ita + ita*ita) * b0;

结果是：

b0=0.0674553
b1=0.134911
b2=0.0674553
a1=1.144298
a2=-0.412802

对于那些想知道其他答案中的神奇公式来自哪里的人，下面是这个例子的推导。

从巴特沃斯滤波器的传递函数开始

G(s) = wc^2 / (s^2 + s*sqrt(2)*wc + wc^2)

其中wc是截止频率，应用双线性z变换，即替换s = 2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1):

G(z) = wc^2 / ((2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1))^2 + (2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1))*sqrt(2)*wc + wc^2)

T是采样周期[s]。

截止频率需要进行预失真，以补偿非线性z变换引入的模拟频率和数字频率之间的关系：

wc = 2/T * tan(wd*T/2)

其中wd是期望的截止频率[rad/s]。

设C = tan(wd*T/2)，为方便起见，使wc = 2/T*C。

将此代入方程，2/T因子退出：

G(z) = C^2 / ((1-z^-1)/(1+z^-1))^2 + (1-z^-1)/(1+z^-1)*sqrt(2)*C + C^2)

将分子和分母乘以(1+z^-1)^2并展开，得到：

G(z) = C^2*(1 + 2*z^-1 + z^-2) / (1 + sqrt(2)*C + C^2 + 2*(C^2-1)*z^-1 + (1-sqrt(2)*C+C^2)*z^-2')

现在，把分子和分母除以分母的常数项。为了方便起见，设D = 1 + sqrt(2)*C + C^2:

G(z) = C^2/D*(1 + 2*z^-1 + z^-2) / (1 + 2*(C^2-1)/D*z^-1 + (1-sqrt(2)*C+C^2)/D*z^-2')

这个表格相当于我们正在寻找的表格：

G(z) = (b0 + b1*z^-1 + b2*z^-1) / (1 + a1*z^-1 +a2*z^-2)

因此，我们通过将它们相等来获得系数：

a0 = 1

a1 = 2*(C^2-1)/D

a2 = (1-sqrt(2)*C+C^2)/D

b0 = C^2/D

b1 = 2*b0

b2 = b0

其中，D = 1 + sqrt(2)*C + C^2、C = tan(wd*T/2)、wd是期望的截止频率[rad/s]，T是采样周期[s]。

您可以使用此链接获得具有特定采样率和频率切割的n阶巴特沃斯滤波器的系数。为了测试结果。您可以使用MATLAB来获得系数，并与程序的输出进行比较

http://www.exstrom.com/journal/sigproc

fnorm = f_cutoff/(f_sample_rate/2); % normalized cut off freq, http://www.exstrom.com/journal/sigproc
% Low pass Butterworth filter of order N
[b1, a1] = butter(nth_order, fnorm,'low');

FYI如果你需要一个高通滤波器系数，你所要做的就是使用相同的代码：

const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff);
const double q=sqrt(2.0);
b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita);
b1= 2*b0;
b2= b0;
a1 = 2.0 * (ita*ita - 1.0) * b0;
a2 = -(1.0 - q*ita + ita*ita) * b0;

但是在把所有的b项乘以ita^2之后，就否定了b1

b0 = b0*ita*ita;
b1 = -b1*ita*ita;
b2 = b2*ita*ita;

现在你有一个二阶高通滤波器

我的a和b在这里切换，但我的代码看起来是这样的：

//Boulanger and Lazzarini, The Audio Programming Book, pg 484
void calculateDifferenceEquation() {
float lambda = 1.0 / (tan(M_PI * mFrequency / mSampleRate));
a0 = 1.0 / (1.0 + (2.0 * lambda) + pow(lambda, 2.0));
a1 = 2.0 * a0;
a2 = a0;
b1 = 2.0 * a0 * (1.0 - pow(lambda, 2.0));
b2 = a0 * (1.0 - (2.0 * lambda) + pow(lambda, 2.0));
}

最好的方法是使用类似实验室视图的东西来模拟滤波器，并根据fc和fs获得系数。然后在c中使用它们，最后把代码烧到你的微码中。并将响应与实验室视图或simulink中的响应进行比较。

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