数组大数的均衡指数，如何防止溢出

Equilibrium index of an array of large numbers, how to prevent overflow?

本文关键字：何防止 溢出 指数 数组      更新时间：2023-10-16

>问题陈述：
数组的均衡指数是数组的索引，使得较低索引处的元素总和等于较高索引处的元素总和。
例如，在 {-7， 1， 5， 2， -4， 3， 0} 中，3 是均衡指数，因为： -7 + 1 + 5 = -4 + 3 + 0

编写一个函数，给定一个整数向量，返回其平衡指数（如果有的话）。假设向量可能很长。

问题：
我发现的所有解决方案（有效）都是基于这样一个事实，即给定所有元素的总和和一个部分的当前运行总和，我们可以通过扣除剩余部分元素的总和来获得。我不认为解决方案是正确的，因为如果我们为大向量提供MAX_INT元素，元素的总和将导致溢出。
如何解决溢出问题？
建议解决方案的参考，所有这些都无法解决溢出问题（我只指C++实现，据我所知，在Java中存在解决它的BigInteger类）
http://blog.codility.com/2011/03/solutions-for-task-equi.html补充材料：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <numeric>
#include <vector>
template <typename T>
std::vector<size_t> equilibrium(T first, T last)
{
    typedef typename std::iterator_traits<T>::value_type value_t;
    value_t left  = 0;
    value_t right = std::accumulate(first, last, value_t(0));
    std::vector<size_t> result;
    for (size_t index = 0; first != last; ++first, ++index)
    {
        right -= *first;
        if (left == right)
        {
            result.push_back(index);
        }
        left += *first;
    }
    return result;
}
template <typename T>
void print(const T& value)
{
    std::cout << value << "n";
}
int main() 
{
    const int data[] = { -7, 1, 5, 2, -4, 3, 0 };
    std::vector<size_t> indices(equilibrium(data, data + 7));
    std::for_each(indices.begin(), indices.end(), print<size_t>);
}

简短的回答是，最终它无法完全治愈/解决，除非你限制输入的数量/幅度 - 即使是像Java的BigInt（或等C++的等价物，如gmp，NTL等）。

问题很简单：任何计算机的内存都是有限的。我们可以表示的数字总是有一些有限的限制。任意精度整数类型可以增加对数字的限制，远远大于大多数使用常规使用的数字，但无论限制是什么，总会有更大的数字无法表示（至少在不更改为其他表示形式的情况下 - 但是如果我们要对任意数字的单位位置进行精确， 对于我们在表示巨大数字方面的聪明程度，有明显的限制）。

对于链接问题中给出的条件，C 和 C++ 中的long long类型就足够了。如果我们想通过 C++ 中的解决方案将限制增加到一些荒谬的大小，这很简单。尽管它们不是 C++ 实现的必需部分，但有许多任意精度整数库可用于C++。

我想可能有某种方法可以计算出这个问题的答案，而不涉及实际对数字求和 - 但至少乍一看，这个想法对我来说似乎不是很有希望。问题的陈述专门涉及计算总和。虽然您当然可以进行各种阴谋诡计来防止求和看起来像求和，但事实是问题的基本陈述涉及求和，这往往表明不涉及求和的解决方案可能很难找到。

是的，这是可能的。请注意，如果data[0] < data[len - 1]，则data[1]应属于"左"部分;同样，如果data[0] > data[len-1]那么data[len-2]属于"正确"部分。这种观察允许归纳证明以下算法的正确性：

left_weight = 0; right_weight = 0
left_index = 0; right_index = 0
while left_index < right_index
    if left_weight < right_weight
        left_weight += data[left_index++];
    else
        right_weight += data[--right_index]

仍然有累积，但通过跟踪不平衡和哪一侧较重的布尔指标很容易处理：

while left_index < right_index
    if heavier_side == right
        weight = data[left_index++]
    else
        weight = data[--right_index]
    if weight < imbalance
        imbalance = imbalance - weight
    else
        heavier_side = !heavier_side
        imbalance = weight - imbalance

至少对于未签名的data没有溢出的可能性。可能需要对有符号值进行一些修改。

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