计算二分图中的路径数(长度 n）

Counting Number of Paths (Length N) in Bipartite Graph

本文关键字：长度路径二分图计算更新时间：2023-10-16

我目前正在通过深度优先搜索（最多 10 个级别）来计算二分图中长度为 $n$ 的路径数。但是，我的实现需要 5+ 分钟才能从具有 3000+ 元素的二分图中计算长度为 5 的 700 万条路径。我正在寻找一种更有效的方法来解决这个计数问题，我想知道文献中是否有这样的算法。

这些是无向二分图，因此路径中可能存在循环。

我的目标是在一分钟内计算 100 万个元素的二分图中长度为 $n$ 的路径数。

提前感谢您的任何建议答案。

我同意第一个想法，但它不完全是一个BFS。在BFS中，每个节点你遍历一次，在这里你可以去很多次。
你必须保留 2 个数组（我们称之为 Cnt1 和 Cnt2，Cnt1 是你到达一个元素的次数，你有一个长度为 i 的路径，而 Cnt2 是相同的，但长度为 i + 1）。第一次所有元素在 Cnt2 中为 0，在 Cnt1 中为 1（因为每个节点都有一条长度为零的路径）。

重复N次：
遍历所有节点
对于当前节点，您遍历他所有连接的节点，对于每个节点，您在 Cnt2 上的位置添加您在 Cnt1 中到达当前节点的次数。
完成所有节点后，只需在 Cnt1 中复制 Cnt2 并使 Cnt2 为零。
最后，您只需将 Cnt1 的所有数字相加，这就是答案。

转换为广度优先搜索，每当您有 2 条路径以相同的长度通向同一节点时，只需跟踪有多少这样的方式，而不是您是如何到达那里的。

这将避免大量重复工作，并应提供显着的加速。（如果n不小，有更好的加速，请继续阅读。

我的目标是在一分钟内计算 100 万个元素的二分图中长度n的路径数。

嗯，祝你好运？

另一种研究方法是，如果您采用图的邻接矩阵，并将其提高到n次方，则您获得的矩阵的所有条目都是从一个地方开始，在另一个地方结束的长度路径数。因此，您可以采取重复平方等捷径。方便，不是吗？

不幸的是，一百万个元素图产生了一个具有 10^12 个条目的邻接矩阵。将两个这样的矩阵与朴素算法相乘应该需要 10^18 次运算。当然，我们有更好的矩阵乘法算法，但你仍然没有得到低于 10^15 次运算。这肯定不会在 1 分钟内完成。（如果你的矩阵足够稀疏，你可能有机会，但你应该对这个主题做一些研究。