计算DAG中长度为K的路径个数

Michael有一些很好的见解，但我不确定我是否完全理解他的论点。这是我的解决方案。

假设N=4, K=2。因此节点的范围从0 (0000₂)到15 (1111₂)。

现在让我们考虑节点2 (0010₂)。从2到3有一条边(0011₂)因为2 <3 and xor(2,3) = 1 = 2⁰从2到6也有一条边，因为2 <6 and (2,6) = 4 = 2²从2到10有一条边，因为2 <3..

概括:对于任何x，考虑x中的所有0位。通过将任何0位翻转为1，你得到一个比x大且与x相差1位的数字y。从x到y有一条边

x中的1位数通常称为x的总体计数。我将使用pop(x)表示x的总体计数。

我们处理的是N位数字(包括前导零)，所以x中0位的个数是N- pop(x)。

让我们使用术语"j-path"来表示长度j的路径。我们想要计算k路径的个数

每个节点x有N - pop(x)条出线边。每条边都是一条1-路径

让我们考虑节点5 (0101₂)。节点5有一条到7的边(0111₂)，节点7有一条到15的边(1111₂)。节点5也有一条到13的边(1101₂)，节点13有一条到15的边(1111₂)。所以从节点5有两条路径:5-7-15和5-13-15。

接下来让我们再次查看节点2 (0010₂)。节点2有一条边到3 (0011₂)，它有一条边到7 (0111₂)和11 (1011₂)。节点2也有一条到节点6 (0110₂)的边，节点6有一条到7 (0111₂)和14 (1110₂)的边。最后，节点2有一条到节点10 (1010₂)的边，节点10有一条到11 (1011₂)和14 (1110₂)的边。总的来说，结点2有6条2-路径:2-3-7、2-3-11、2-6-7、2-6-14、2-10-11和2-10-14。

模式是，对于任意节点x，其中z位被设为0，且z≥K，存在一些从x出发的K路径。为了找到从x出发的K路径，你取任意K个0位。把这些位一个一个地换成1，就得到了路径。你可以按你想要的顺序翻转比特;每个顺序给出不同的路径。

当你想从n个物品中选取k个物品，以特定的顺序，这被称为无替换有序样本，有n个!/(n - k) !做这件事的方法。通常写为_nP_k，但这里更容易写P(n,k)。

所以，恰好有2个0位的节点有p (2,2) = 2!/(2 - 2) != 2个路径。(注意0!= 1)。恰好有3个0位的节点有P(3,2) = 3!/1 != 6个2-路径。恰好有4个0位的节点有P(4,2)= 4!/2 != 12条2-路径。(因为我在示例中使用N=4，所以只有一个节点恰好有4个零位，即节点0。)

然后我们需要知道，有多少节点恰好有2个0位?当有n个项目可供选择时，我们想从中选择k个，我们不关心所选项目的顺序，这就叫做无替换的无序样本，有n个!/(k !(n-k)!)这被称为"n选k"，它通常以一种我无法在堆栈溢出时复制的方式写成，所以我把它写成C(n,k)。

对于我们的N=4的例子，有C(4,2) = 6个节点，正好有2位设置为零。这些节点3(0011 <子> )、5(0101 <子> 2 ),6(0110 <子> 2 ),9(1001 <子> 2 ),10(1010 <子> 2 ),12(1100 <子> 2 )。每个节点都有P(2,2)条2-路径，所以这意味着有C(4,2) * P(2,2) = 6 * 2 = 12条2-路径，正好有两个0位的节点。

则有C(4,3) = 4个节点，其中正好有3位被设置为零。这些节点是1 (0001₂)、2 (0010₂)、4 (0100₂)和8 (1000₂)。每个节点都有P(3,2)条2-路径，所以有C(4,3) * P(3,2) = 4 * 6 = 24条2-路径，正好有3个0位。

最后，有C(4,4) = 1个节点，其中正好有4位设置为零。该节点有P(4,2) = 12条2-路径。

2-paths总数当N = 4 C (4,2) * p (2, 2) + C (4,3) * p (3 2) + C (4, 4) * p(4,2) = 12 + 24 + 12 = 48。

对于一般N和K(其中K≤N)， K路径数为K≤z≤N时C(N,z) * p (z,K)的和

我可以像这样在Wolfram Alpha(或Mathematica)中输入:

Sum[n!/(z! (n - z)!) z!/(z - k)!, {z, k, n}]

它简化成这样:

2^(n-k) n! / (n-k)!

上述问题似乎与下面的问题相同:

考虑长度为n的所有可能二进制字符串的集合，考虑将第i位从0翻转到1的操作Fi。对于字符串x &Y表示集合位的个数，x

很容易看出，一个人可以通过一系列恰好K个运算，从x得到y当且仅当(x,y) K可容许。此外，如果我们固定x并对所有y求和使得(x,y)是k可容许的，我们得到(N-|x|)!

最后，我们需要用|x|<=(N-K)对所有x求和。对于一个给定的选择|x|我们有N!/(N-|x|)!|x|!x的可能选择。结合上面的，你会得到对于给定的|x|有N!/|x|!可能的路径。

表示|x|=M, M从0到N- k，你的答案是对所有M求和N!/M!