所有对的最短路径长度为无向加权稀疏图

All pairs shortest path lengths for undirected weighted sparse graph

本文关键字：加权最短路径更新时间：2023-10-16

查找无向加权稀疏图的所有对最短路径长度的最佳算法是什么？具体来说，权重是节点之间的距离（因此为正）。请注意，我只需要路径长度（即不需要路径本身）。我的图形很稀疏，因此它存储为邻接列表。

我找到了Dijkstra，Floyd-Warshall，Johnson等，但似乎没有一个是最适合我的目的。在Dijkstra的情况下，你对所有顶点运行单一源版本，Floyd-Warshall 用于密集图，Johnson 用于定向。

我专门在寻找C++中的实现。

Johnson 的算法似乎最适合稀疏图（如果 |V|> |E|它归结为 O（V^2logV），而不是带有 FW 的 O（V^3）。但是，由于 Johnson 算法将第一步用于使权重为非负值（您不需要），因此您可以按照正确指出的方式只运行第二步，这基本上只是每个节点的 Dijkstra。这应该只取O（VElogV），如上一张幻灯片中所述。我不确定我是否可以证明这是最好的解决方案，但如果有一个更好的解决方案（用于查找非负权重的最短路径） - 我希望约翰逊算法在重写权重后使用它。

它适用于有向图的事实不应该打扰您 - 您只需通过来回转换具有 2 条有向边的每个无向边（使用简单的 O（E）时间）即可将无向图转换为有向图。也就是说 - 除非您有空间限制。

由于它是一个无向加权稀疏图，它与道路网络非常相似，所以我不认为（根据经验）有比 Dijkstra 更好的算法。看看双向dijkstra，如果你有足够的RAM，你可以缓存每个节点的最短路径树（SPT），然后在点i的SPT与点j的SPT之间进行"匹配"，其中i ！= j。

我还没有测试过它，但 2013 年的这篇论文声称以 47 倍的优势击败了 Dijkstra：

Urakov A. R.， Timeryaev T. V.：高维稀疏图的全对最短路径算法：

与Dijkstra算法相比，该算法将APSP的求解速度平均提高了47倍。对于每个和所有测试图，该算法都比Dijkstra算法快（最小速度快34倍）。在测试期间，顶点度数增加到最大值 17。这意味着在拆卸过程中，顶点移除的复杂性仅略有增加。