使用 2x1 和 1x2 多米诺骨牌平铺具有禁止位置的 2xN 网格的方法数量

Number of ways to tile a 2xN grid with forbidden positions with 2x1 and 1x2 dominoes?

本文关键字：2xN 位置 网格 方法 禁止 1x2 2x1 多米诺骨牌 使用      更新时间：2023-10-16

我很想知道解决这个问题的算法。问题陈述的正式描述是这样的 - 给定 N（<100） 和多米诺骨牌 2x1 和 1x2，我必须找到可能的不同网格平铺的数量。这里的区别在于，某些单元格将被涂黑以表示禁止的位置。

Input:
5
01000
00010
Output:
1

输入中的 0 表示一个空单元格和 1 个禁止单元格。我在这里发现了一个类似的问题 六边形网格平铺 .虽然稍微提到了使用位掩码的动态编程解决这类问题，但我无法找到有关此技术的任何详尽解释。

PS：虽然我知道如何解决一般的网格平铺问题，但只有在这个问题中，只有当我们只得到空单元格时，才能形成重复，因为 F（n） = F（n-1） + F（n-2），通过放置一张 1x2 多米诺骨牌或放置两个 2x1 多米诺骨牌分别覆盖第一列和前两列。这可以迭代解决，甚至对于大 N（>比如 10^7），我们可以使用矩阵幂技术。但我有兴趣了解通过DP +位掩码解决此类问题的技术。任何帮助将不胜感激。

对于 i = n， n-1， ...， 1，您计算 f00 （i） = "如果第 i 列包含 0,0，则从第 i 列填充的组合数"， f01 （i） = "如果第 i 列包含 0,1，则从第 i 列填充的组合数"， f10 （i） = "如果第 i 列包含 1,0，则从第 i 列填充的组合数"，

f11 （i） = "如果第 i 列包含 1,1，则从第 i 列填充的组合数"

显然，f00 （n） = f11 （n） =

1， f01 （n） = f10 （n） = 0。

f00 （i） 如果 i

f10 （i） for i

F01 （i） 的工作原理相同。

F11 （i） = f00、f01、f10 或 f11 （i + 1），具体取决于下一列中的内容。

线性时间很容易找到解决方案。

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