N个整数与K对数字有多少个不能相邻的排列？

How many permutations of N integers with K pairs of numbers that can't be adjacent?

本文关键字：不能 排列 多少 整数 数字      更新时间：2023-10-16

有N个整数{1，2，…，N}和K个有序的数字对（A，B）；A！=BA、 B<=N.没有一对是相同的（例如（2，4）不能输入一次以上）。同一元素可以成对出现。我必须写一个C++程序，用一个算法来求所有N个整数的排列数，其中任何一对中的B都不在它的a后面。注意，对（a，B）！=（B，A）。

示例：

n = 5
k = 4
k1: (2, 3)
k2: (1, 4)
k3: (3, 2)
k4: (2, 4)
This perm. is OK: 4 1 3 5 2
This is not OK: 3 1 4 2 5

这是我的强力解决方案，递归地检查每一种可能性：

#include <iostream>
using namespace std;
int n;
bool conflict[1000][1000];
bool visited[1000];
int result = 0;
int currentlength = 0;
void count(int a) {
    visited[a] = true;
    currentlength++;
    if (currentlength == n) {
        result++;
        visited[a] = false;
        currentlength--;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!visited[i] && !conflict[a][i]) {
            count(i);
        }
    }
    visited[a] = false;
    currentlength--;
}
int main()
{
    int k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        conflict[a][b] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        count(i);
    }
    cout << result << endl;
    return 0;
}

N和K分别达到1000000和100000，所以我需要找到一个更有效的解决方案。

您可以创建一个包含所有数字的完整图，并删除与输入对对应的边。

在生成的图中，每个哈密尔顿路径对应于一个解。所以你需要一个算法来找到给定图中的哈密尔顿路径的个数。

不幸的是，没有一个时效性的解决方案。也就是说，你必须列举所有可能的路径来计数它们所以，简而言之，寻找计算哈密尔顿路径的算法

以下是一些讨论：

讨论这个确切问题的so线程

wolfram链路

根据输入对的数量，也许更容易计算出打破条件的解决方案的数量。你可以把它从可能性总数（n！）中减去，得到你想要的答案。

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