如何将浮点值移到可以精确表示为特定小数位数的最近值

How to shift a floating-point value to the nearest one that can be represented exactly in a specific number of decimal places?

本文关键字：表示 小数 最近      更新时间：2023-10-16

C++中是否有一种算法允许我在给定的T类型的浮点值V（例如，double或float）上返回在给定方向（向上或向下）上最接近V的值，该值可以用小于或等于指定小数位数D的精确地表示？

例如，给定

T = double 
V = 670000.08267799998 
D = 6

对于方向=朝向+inf，我希望结果为670000.082678，对于方向=朝-inf，我希望其结果为670000-082677

这与std:：nexttoward（）有点相似，但有一个限制，即"next"值最多需要使用小数点后D位才能精确表示。

我曾考虑过一个简单的解决方案，包括将分数部分分离出来，按10^D缩放，截断它，再按10^-D缩放，然后将它重新固定到整数部分，但我不相信这能保证得到的值在底层类型中准确表示。

我希望有一种方法可以正确地做到这一点，但到目前为止我一直找不到。

编辑：我认为我最初的解释没有正确传达我的要求。在@patricia shanahan的建议下，我将尝试描述我更高层次的目标，然后在这种背景下重新表述这个问题。

在最高级别上，我需要这个例程的原因是由于一些业务逻辑，其中我必须接受一个双值K和一个百分比p，将其拆分为两个双分量V1和V2，其中V1~=p%的K和V1+V2~=K。问题是V1在通过有线协议发送给第三方之前被用于进一步的计算，该协议接受最多小数点后D位的字符串格式的浮点值。因为发送给第三方的值（字符串格式）需要与使用V1（双格式）进行的计算结果相协调，所以我需要使用一些函数F（）"调整"V1，使其尽可能接近K的P%，同时仍然可以使用最多D个小数点的字符串格式精确表示。V2不具有V1的任何限制，并且可以计算为V2＝K-F（V1）（可以理解和接受的是，这可能导致V2使得V1+V2非常接近但不完全等于K）。

在较低级别，我希望编写该例程来"调整"V1，使其具有以下签名：

double F(double V, unsigned int D, bool roundUpIfTrueElseDown);

其中，通过取V并（如有必要，按照布尔参数指定的方向）将其四舍五入到小数点后第D位来计算输出。

我的期望是，当V被序列化为如下时

const auto maxD = std::numeric_limits<double>::digits10;
assert(D <= maxD); // D will be less than maxD... e.g. typically 1-6, definitely <= 13
std::cout << std::fixed 
          << std::setprecision(maxD) 
          << F(V, D, true);

则输出仅包含小数点后第D位以外的零。

需要注意的是，出于性能原因，我正在寻找一种不涉及在double和string格式之间来回转换的F（）实现。尽管输出最终可能会转换为字符串格式，但在许多情况下，逻辑会在必要之前提前输出，我希望避免这种情况下的开销。

这是一个执行请求的程序的草图。它主要是为了找出这是否真的是人们想要的。我是用Java写的，因为这种语言对我想要依赖的浮点运算有一些保证。我只使用BigDecimal来获得双打的精确显示，以表明答案是可以精确表示的，小数点后不超过D位。

具体来说，我依赖于根据IEEE 754 64位二进制算法的双重行为。对于C++来说，这是可能的，但标准并不能保证。我还依赖于Math.pow在简单精确的情况下是精确的，依赖于除以2的幂的精确性，以及能够使用BigDecimal获得精确的输出。

我没有处理过边缘案件。最大的遗漏是处理具有大D的大星等。我假设括号内的二进制分数可以精确地表示为二重。如果它们具有超过53个有效位，则情况并非如此。它还需要处理不定式和NaN的代码。二次幂除法的精确性的假设对于次正规数是不正确的。如果您需要您的代码来处理它们，则必须进行更正。

它基于这样一个概念，即一个既可以精确地表示为小数点后不超过D位的小数，又可以精确地表达为二进制分数的数字，必须可以表示为分母2提升到D次方的分数。如果它的分母需要更高的2次方，那么它的小数形式中小数点后需要超过D位数字。如果它根本不能表示为分母为2次方的分数，那么它就不能完全表示为二重。

尽管我运行了一些其他案例进行说明，但关键输出是：

670000.082678 to 6 digits Up: 670000.09375 Down: 670000.078125

这是程序：

import java.math.BigDecimal;
public class Test {
  public static void main(String args[]) {
    testIt(2, 0.000001);
    testIt(10, 0.000001);
    testIt(6, 670000.08267799998);
  }
  private static void testIt(int d, double in) {
    System.out.print(in + " to " + d + " digits");
    System.out.print(" Up: " + new BigDecimal(roundUpExact(d, in)).toString());
    System.out.println(" Down: "
        + new BigDecimal(roundDownExact(d, in)).toString());
  }
  public static double roundUpExact(int d, double in) {
    double factor = Math.pow(2, d);
    double roundee = factor * in;
    roundee = Math.ceil(roundee);
    return roundee / factor;
  }
  public static double roundDownExact(int d, double in) {
    double factor = Math.pow(2, d);
    double roundee = factor * in;
    roundee = Math.floor(roundee);
    return roundee / factor;
  }
}

通常，十进制分数不能精确地表示为二进制分数。也有一些例外，比如0.5（1/2）和16.375（16/），因为所有二进制分数都可以精确地表示为十进制分数。（这是因为2是10的因子，但10不是2的因子，也不是2的任何幂。）但如果一个数字不是2的某个幂的倍数，它的二进制表示将是一个无限长的循环序列，就像1/3的表示一样；十进制（.333….）。

标准C库提供宏DBL_DIG（通常为15）；具有那么多精度的十进制数字的任何十进制数字都可以被转换为double（例如，使用scanf），然后被转换回十进制表示（例如，用printf）。要在不丢失信息的情况下朝相反的方向前进——从double开始，将其转换为十进制，然后再将其转换回——您需要17位十进制数字（DBL_DECIMAL_DIG）。（我引用的值基于IEEE-754 64位双精度）。

提供接近该问题的一种方法是，如果浮点数是最接近十进制值的浮点数，则将精度不超过DBL_DIG位的十进制数视为浮点数的"精确但不精确"表示。找到浮点数的一种方法是使用scanf或strtod将十进制数转换为浮点数，然后尝试附近的浮点数（使用nextafter进行探索），以找到哪些浮点数转换为精度为DBL_DIG位的相同表示。

如果您相信标准库实现不会太远，那么可以使用sprintf将double转换为十进制数字，在所需的数字位置递增十进制字符串（这只是一个字符串操作），然后使用strtod将其转换回double。

总重写。

根据OP的新要求，并使用@Patricia Shanahan建议的2次幂，简单的C解决方案：

double roundedV = ldexp(round(ldexp(V, D)),-D);  // for nearest
double roundedV = ldexp(ceil (ldexp(V, D)),-D);  // at or just greater
double roundedV = ldexp(floor(ldexp(V, D)),-D);  // at or just less

除了@Patricia Shanahan的精细解决方案之外，这里唯一添加的是匹配OP标签的C代码。

在C++中，整数必须用二进制表示，但浮点类型可以用十进制表示。

如果<limits.h>中的FLT_RADIX是10，或者是10的倍数，则可以实现精确表示十进制值的目标。

否则，总的来说，这是不可能实现的。

因此，作为第一步，尝试找到一个FLT_RADIX为10的C++实现。

我不会担心算法或其效率，直到C++实现被安装并被证明在您的系统上工作。但作为一个暗示，你的目标似乎与所谓的“四舍五入"；。我认为，在获得我的十进制浮点C++实现后，我；d首先研究四舍五入的技术，例如，在谷歌上搜索，也许是维基百科，…

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