如何用计算机代码检查一个无穷集在加法下是否闭合

How to check whether an infinite set is closed under addition with a computer code?

本文关键字：无穷集 是否 一个 代码 计算机 何用 检查      更新时间：2023-10-16

给定k正整数a1<a2<a3<lt；ak，以及所有大于ak的整数，我们要检查集合a＝{ai：i∈[1，k〕｝∈{n:n>ak，n∈ℕ } =｛a1，a2、a3…，ak+1，ak+2，…｝在加法下闭合。这意味着：

∑1≤i≤kai*bi∈a，对于任何非负整数bi。

例如，{2,4,6,7,8，…}在加法下是闭的。

有什么简单的方法可以做到这一点吗？我们可以在Mathematica或Matlab中使用什么函数？

如果集合的小于k的不连续部分不大，我相信你可以直接这样处理：

a = {2, 4, 6};
Tr /@ Subsets[a, {2}];
TakeWhile[%, # < Last@a &];
Complement[%, a] === {}

一个平庸的观察结果：任何具有操作数>= a_k的和都是A的成员，因此您只需要关注两个操作数都来自集合B = {a_1 .. a_(k-1)}的和。伪代码中的朴素解决方案：

for i from k-1 down to 1
  for j from i down to 1
    if (a_i + a_j < a_k) and (a_i + a_j is not in B) then
      return false
return true

你最近对这个问题的修改让它变得荒谬。我注意到：

  • a_1到a_k都是严格正整数
  • 集合的其余成员严格大于a_k，因此也是严格的正整数

因此，集合的所有成员都是严格正整数。

但∑a_i*n_i ∈ A显然不适用于所有非负整数n_i。

具体来说，它不适用于n_i = 0，因为和为零，并且零不是严格的正整数，因此不是集合的成员。

现在，这是"闭集"的一个非常奇怪的定义，而不是通常接受的用法。但根据您的定义，对于任何k > 0，该集合都不是闭合的。

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