寻找遍历图中所有顶点的路径的更好算法是什么?

What is a better algorithm for finding routes that traverse all vertices in a graph?

本文关键字：路径更好是什么算法顶点遍历寻找更新时间：2023-10-16

所以我有以下问题:

给定一个x × y维的网格，计算路径的数量通过它，从一个角落开始(我们说左上角)，结束于另一个(右下)，并通过每个顶点。

所以我现在的方法只是通过尝试每一条可能的路径，计算到达终点并遍历每个节点的路径。当它工作时，它是O(n^2)并且变得难以置信的慢。我不确定如何组合，因为要求路径遍历每个顶点。

我查过更复杂的算法，Hierholzer的计算欧拉路径的算法似乎有点相关，但并不完美，因为节点不能被遍历多次。

事实上，我的程序可以工作，但是很糟糕，我想使它更有效。我可以使用更好的算法吗?

编辑感谢到目前为止的回答。为了澄清，2d网格中的所有节点都是通过n/e/s/w

连接的。

同样，网格也不一定是正方形

你能做的不多，因为这是一个np完全的哈密顿路径问题。

然而，你可能实际上搜索其他东西，并为你试图解决的问题添加一些限制…

编辑:

正如@JanDvorak所指出的，您的特定限制是您正在使用方形网格。我目前的发现:

如果x是偶数，那么没有办法遍历从左上角开始到右下角结束的所有顶点。证明:

让我们计算沿轴方向的运动，例如向上为-1，向下为1，向左为-1，向右为-1。所以，有x × x的网格，总移动量是2*x。在每个顶点(除了最后一个!)你只选择一个方向。所以，如果你需要经过的顶点数是偶数，那么你的总移动将是偶数，反之亦然。如果x是偶数，那么有奇数个顶点，但总移动仍然是偶数=>你无法找到任何方法

首先，如果x是偶数，有一个简单的奇偶校验参数表明答案总是零;方格，注意左上角和右下角的方格是相同的颜色，并且该颜色不能同时访问n²，因为n²是偶数而1是奇数。

如果x是奇数，我不知道如何计算路径，但请注意，总数至少以指数速度增长:对n*n网格的任何遍历都可以提升为对(n+2)*(n+2)网格的两次不同遍历。你沿着第一行向右，沿着第二行向左，沿着第一列向下，沿着第二列向上，然后在剩下的方格上做n*n的网格遍历;您可以通过以相反的顺序覆盖前两行和列来获得另一个。

这应该告诉你，暴力解决方案不太可能工作得很好。

这学期我在一门课上遇到了这样的问题。我认为你可以看看像我们这样的元启发式算法:

除非你真的需要改进，否则你可能想要使用蛮力;因为它们非常复杂