在有效时间内将一个正整数写成2的幂的和的方法总数

Total number of ways to write a positive integer as the sum of powers of 2 in efficient time

本文关键字：和的 方法 整数 有效时间 一个      更新时间：2023-10-16

我一直在寻找将n写成2的幂和的方法，它工作得很好，但我想知道如何提高该算法的运行时效率。它不能在任何合理的时间内(小于10秒)计算大于~1000的任何东西。

我认为这与把它分解成子问题有关，但不知道如何去做。我想的是O(n)或O(nlogn)的运行时间——我相信这是可能的。我只是不知道如何有效地分配工作。

代码通过Chasefornone

 #include<iostream>
using namespace std;
int log2(int n)
{
    int ret = 0;
    while (n>>=1) 
    {
        ++ret;      
    }
    return ret;
}
int power(int x,int y)
{
    int ret=1,i=0;
    while(i<y)
    {
        ret*=x;
        i++;
    }
    return ret;
}
int getcount(int m,int k)
{
    if(m==0)return 1;
    if(k<0)return 0;
    if(k==0)return 1;
    if(m>=power(2,k))return getcount(m-power(2,k),k)+getcount(m,k-1);
    else return getcount(m,k-1);
}
int main()
{
    int m=0;
    while(cin>>m)
    {
        int k=log2(m);
        cout<<getcount(m,k)<<endl;
    }
    return 0;
}

由于我们处理的是某些基数的幂(在本例中为2)，因此我们可以在O(n)时间(和空间，如果我们考虑固定大小的计数)内轻松完成。

键是分区的生成函数。设p(n)为将n写成碱b的幂和的方法个数。

然后再考虑

        ∞
f(X) =  ∑  p(n)*X^n
       n=0

可以把f写成无穷积，

        ∞
f(X) =  ∏  1/(1 - X^(b^k))
       k=0

，如果一个人只想让系数达到某个极限l，一个人只需要考虑b^k <= l的因素。

按正确的顺序(降序)相乘，每一步都知道只有索引可被b^i整除的系数是非零的，因此只需要n/b^k + n/b^(k-1) + ... + n/b + n个系数的加法，总共O(n)。

代码(不保护较大参数的溢出):

#include <stdio.h>
unsigned long long partitionCount(unsigned n);
int main(void) {
    unsigned m;
    while(scanf("%u", &m) == 1) {
        printf("%llun", partitionCount(m));
    }
    return 0;
}
unsigned long long partitionCount(unsigned n) {
    if (n < 2) return 1;
    unsigned h = n /2, k = 1;
    // find largest power of two not exceeding n
    while(k <= h) k <<= 1;
    // coefficient array
    unsigned long long arr[n+1];
    arr[0] = 1;
    for(unsigned i = 1; i <= n; ++i) {
        arr[i] = 0;
    }
    while(k) {
        for(unsigned i = k; i <= n; i += k) {
            arr[i] += arr[i-k];
        }
        k /= 2;
    }
    return arr[n];
}

运行足够快:

$ echo "1000 end" | time ./a.out
1981471878
0.00user 0.00system 0:00.00elapsed

解决此类问题的一般方法是缓存中间结果，例如:

#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
map<pair<int,int>,int> cache;
/* 
The log2() and power() functions remain unchanged and so are omitted for brevity
 */
int getcount(int m,int k)
{
    map<pair<int,int>, int>::const_iterator it = cache.find(make_pair(m,k));
    if (it != cache.end()) {
        return it->second;
    }
    int count = -1;
    if(m==0) {
       count = 1;
    } else if (k<0) {
        count = 0;
    } else if (k==0) {
       count = 1;
    } else if(m>=power(2,k)) {
        count = getcount(m-power(2,k),k)+getcount(m,k-1);
    } else {
        count = getcount(m,k-1);
    }
    cache[make_pair(m,k)] = count;
    return count;
}
/* 
The main() function remains unchanged and so is omitted for brevity
 */
原始程序(我称之为nAsSum0)的结果是: 
$ echo 1000 | time ./nAsSum0
1981471878
59.40user 0.00system 0:59.48elapsed 99%CPU (0avgtext+0avgdata 467200maxresident)k
0inputs+0outputs (1935major+0minor)pagefaults 0swaps

对于有缓存的版本:

$ echo 1000 | time ./nAsSum
1981471878
0.01user 0.01system 0:00.09elapsed 32%CPU (0avgtext+0avgdata 466176maxresident)k
0inputs+0outputs (1873major+0minor)pagefaults 0swaps

…两者都在Cygwin下的Windows 7 PC上运行。因此，使用缓存的版本对于time来说速度太快，无法准确测量，而原始版本运行大约需要1分钟。

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