检查子集是否包含给定子集列表的快速方法

fast way to check if subset contains a given list of subsets

本文关键字：子集 方法 列表 是否 包含 检查      更新时间：2023-10-16

我的问题如下

我有一个K元素的集合

这个集合的每个子集都由std::bitset的一个实例表示(第i位为真=子集中存在第i个元素)

我有一个输入子集I和一个子集列表S1…Sn

我想从S1返回项目…Sn，使得Si包含在I中(也就是说，每次Si有一个位为真，它在I中也必须为真)

显然，这可以在K*n内完成，通过对每个S子集独立地进行相同的检查。

然而，有没有一种通用的方法可以做得更好?我很确定这是可能的，因为在我的情况下，子集列表S1…Sn总是相同的，可以进行预处理。我确信可以将子集存储在特定的数据结构(树?)，这样我就可以一次丢弃很多相同的东西，等等

example :
K = 5
I = [1,1,0,1,0]
S1 = [1,0,0,0,0]
S2 = [1,1,0,1,0]
S3 = [1,1,1,0,0]
the ouput should return S1,S2 (not S3!)

我有一个常数集S1,S2,...,Sn，并且在相同的集合上运行I的不同查询。

编辑:我所说的例子:例如，如果S1包含在S2中:检查S1是否包含在I中:如果没有，则S2不能包含在I中(不需要检查)如果S3是S1和S2的并集:如果S1和S2包含在I中，那么S3

构造一个二叉树T与所有S1...Sn，其中每一级k有两个子节点，取决于S是否有0或1在位置k。树的叶子都是你的S1...Sn。

给定一个输入子集I，让我们取Ik(位置k的元素):如果Ik==0，则选择T在K对应的0层的子树。如果Ik==1，则选择T在K级别的两个子树。以这种方式在T上进行，直到到达所有的叶子。

在最坏的情况下，对给定的I进行O(n+k)操作

由于S1...Sn不会改变，构造树T是一次操作。

编辑:我回答得太仓促了。树T有不止n片叶子，它有2^k=m片叶子。但是我们可以移除不在S1...Sn中的叶子和死子树。这带来了O(2^k)的成本分析，但实际上我们将拥有更少的节点。现在分析变得更加困难，是否值得取决于m和n之间的比率;

我提出了一种不同的分析方法:认为在k级上，我们在恒定时间内丢弃k级上具有无效位的所有子集S，但我们必须在每级O(n)子树中这样做。由于该操作重复了k次，因此最大成本将是O(kn)，但实际上平均成本更低。

您可以使用倒排索引方法。虽然它不能提高最坏情况下的性能，但它可能会加快平均情况下的速度，特别是对于相对密集的查询向量。

对于每个j=1,2，…，k创建一个排序列表，如果j在S_i中，则每个子集都在此列表中。它只在预处理中创建一次。

在您的示例中，它将类似于:

0 -> [S1,S2,S3]
1 -> [S2,S3]
2 -> [S3]
3 -> [S2]
4 -> []

现在，给定一个查询I，找出包含I的一个"down"位的所有集合。这与信息检索中的OR查询相同。这个查询的答案是结果中没有的子集。

在您的示例中，查询的是2 OR 4，查询倒排索引的结果是:S3，因此结果是S1,S2。

这基本上是搜索引擎所做的，如果查询包含的术语很少，与可能的数量相比，它是非常有效的。

用部分答案回答我的问题:

    从S1
  1. …然后我们构建一个子集树，使得根节点是空子集(bitset中全部为0)，并且使得每个子节点都包含它的父子集
  2. 对于算法，从根节点开始:
      每个孩子的
    • :
      • 如果该节点的子集包含在I中，则添加该子集并以该节点为根再次调用算法
      • 否则，转到下一个子树(此子树的子树永远不会被处理)

现在的问题是，如何从1)最优地构建树?它具有最大深度和最小"宽度"。例如，在我的示例中，"坏"树是S1、S2和S3是根节点的子节点。一个"好的"树应该是根节点只有S1作为子节点，而根在S1的树有S2和S3作为子节点。我不知道如何构建这棵树，但是

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