解决背包的一种变化，其中物品的价值取决于背包中已经存在的物品

Solving a variation of the knapsack in which the value of an item depends on items that are already in the sack

本文关键字：背包 存在 取决于 一种 解决 变化      更新时间：2023-10-16

我想解决以下问题:
我有一组N项目，其中每对项目都有一个相互得分，我需要选择W项目的组合，使总得分最高。
例如i,j,k项的总分为

score(i,j) + score(i,k) + score(j,k).

为了避免经历所有N^W可能的组合，我考虑对0-1背包问题做一个变化，并通过这两个变化来解决动态规划:

  1. 设置所有的权重等于1(所以最终我将得到确切的W项目在我的麻袋)
  2. 我将根据当前正在检查的物品和当时已经在麻袋中的物品"动态"计算值，而不是为每个物品设置一个常量数组。

我已经开始用这两个变化来编码解决方案，但是现在我想得更多了，我担心它不能用动态规划来解决，因为"最优子结构"属性不成立。
例如，如果W=3和i,j,k项是最优解，那么对于W=2, i,j不一定是最优解(根据上述总分的计算)。
有没有人知道这个问题是如何用动态编程来解决的，而不是用O(N^W)暴力破解?

谢谢

你的问题是np困难的，这意味着几乎肯定没有快速的多项式时间算法来解决它，因为没有人能够想出一个多项式时间算法来解决np困难的问题。为了了解np硬度，假设你有一个图，其中节点是你的索引，如果在i和j之间有一条边，你定义i和j之间的分数为1，否则为0。如果你能在多项式时间内，找到包含最多W个节点的节点的最大分数子集，那么你就能在多项式时间内，算出图中是否存在一个大小为W的团。这是一个np完全问题

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