需要算法来找到第n个回文数

need algorithm to find the nth palindromic number

本文关键字：回文 算法      更新时间：2023-10-16

考虑

    0 -- is the first
    1 -- is the second
    2 -- is the third
    .....
    9 -- is the 10th
    11 -- is the 11th

找到第n个回文数的有效算法是什么？

我假设0110不是回文，因为它是110。

我可以花很多词来描述，但这张表应该足够了：

#Digits #Pal. Notes
   0     1     "0" only
   1     9     x     with x = 1..9
   2     9     xx    with x = 1..9
   3    90     xyx   with xy = 10..99 (in other words: x = 1..9, y = 0..9)
   4    90     xyyx  with xy = 10..99
   5   900     xyzyx with xyz = 100..999
   6   900     and so on...

偶数位数的（非零）回文从p(11) = 11, p(110) = 1001, p(1100) = 100'001,...开始。它们是通过取索引n - 10^L来构造的，其中L=floor(log10(n))，并附加此数字的反转：p(1101) = 101|101, p(1102) = 102|201, ..., p(1999) = 999|999, etc。对于索引n >= 1.1*10^L but n < 2*10^L，必须考虑这种情况。

当n >= 2*10^L时，我们得到了奇数位数的回文，它们以p(2) = 1, p(20) = 101, p(200) = 10001 etc.开始，可以用同样的方式构造，再次使用n - 10^L with L=floor(log10(n))，并附加该数字的反转，现在没有最后一个数字：p(21) = 11|1, p(22) = 12|1, ..., p(99) = 89|8, ...。

当n < 1.1*10^L时，在奇数位数的情况下，用n >= 2*10^L从L中减去1以达到正确设置。

这就产生了一个简单的算法：

p(n) = { L = logint(n,10);
         P = 10^(L - [1 < n < 1.1*10^L]); /* avoid exponent -1 for n=1 */
         n -= P; 
         RETURN( n * 10^L + reverse( n  10^[n >= P] ))
       }

其中[…]是1如果。。。为true，否则为0，\为整数除法。（表达式n 10^[...]等效于：if ... then n10 else n。）

（我在指数中添加了条件n>1，以避免n=0时p=10^（-1）。如果您使用整数类型，则不需要它。另一种选择是将max（…，0）作为P中的指数，或者在开始时使用if n=1 then return(0)。还要注意，在分配P之后不需要L，所以可以对两者使用相同的变量。）

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