在最小堆中查找最大元素

Finding max element in min heap

本文关键字：元素 查找      更新时间：2023-10-16

我有一个最小堆：

std::vector<int> h;
...
std::make_heap(h.begin(), h.end(), std::greater<int>());

在大多数情况下，我需要最小堆操作std::push_heap和std::pop_heap，但在极少数情况下，我需要在最小堆中找到最大元素。我可以用std::max_element做到这一点：

std::max_element(h.begin(), h.end());

但是，这必须扫描所有堆元素。

标准库是否提供了更有效的算法来查找最小堆中的 max 元素？

TL;DR在最小堆中，最大元素位于叶节点X中。因此，您可以将搜索限制为堆的大约一半元素，即，通过将最大元素的搜索限制为仅叶节点：

auto max_it = std::max_element(first_leaf_it, h.end());

请注意，这仍然需要线性时间，但常数因子比扫描所有元素要低，大约一半。

下面是一个类似 STL 的算法实现，用于在迭代器对提供的最小堆中查找最大元素：

template<typename RandomIt>
auto min_heap_max_element(RandomIt first, RandomIt last) {
auto n = last - first;
if (n < 2)
return first;
auto first_leaf_it = first + (n - 2) / 2 + 1;
return std::max_element(first_leaf_it, last);
}

要将其与您的示例一起使用：

auto max_it = min_heap_max_element(h.begin(), h.end());

如何查找堆中的第一个叶节点

堆的最后一个元素 -h.end()

指向的元素 - 显然是一个叶节点，它的父节点是最后一个非叶节点，因为如果这个节点后面有一个非叶节点，我们假设是堆的最后一个元素的元素不会是最后一个元素，这是一个矛盾。

因此，第一个叶节点将是紧跟在最后一个节点的父节点之后的元素。

您可以轻松找出最后一个节点的父节点在哪里：给定 i 堆元素的索引，其父节点位于索引(i - 1(/2处。因此，最后一个非叶节点的索引是(h.size() - 2) / 2，因此第一个叶节点的索引是(h.size() - 2) / 2 + 1。

X让我们假设最小堆中的最大元素位于非叶节点中。这意味着它至少有一个子节点。由于min-heap 属性，此子节点必须大于或等于其父节点。如果子节点大于其父节点(即最大元素(，则子节点大于最大值。这是不可能的，因为我们有矛盾。因此，它的所有子节点也必须是最大值，对于这些子节点也是如此。因此，如果最大值在堆中重复，或者唯一的最大值必须对应于叶节点，则最终会在其中一个叶节点中存在最大值。

如果您确实需要更好的(即亚线性(时间复杂度，请考虑使用最小-最大堆。此树中的任何节点都遵循以下属性：

当一个值处于偶数水平时，那么它是其后代中最大的。
当一个值处于奇数水平时，那么它是其后代中最少的。

因此，根具有最小值，其两个子项中的一个具有最大值。

插入/提取操作的时间复杂度与最小堆相同。

检查是否有C++最小堆实现？

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