如何从算法中找到递归关系

how to find a recurrence relation from algorithm

本文关键字：递归 关系 算法      更新时间：2023-10-16

我试图理解递归关系。 我找到了一种通过递归确定整数数组中最大元素的方法。 下面是函数。 第一次调用它时，n 是数组的大小。

int ArrayMax(int array[], int n) {
if(n == 1)
return array[0];
int result = ArrayMax(array, n-1);
if(array[n-1] > result)
return array[n-1];
else
return result;
}

现在我想了解递归关系以及如何从那里获得 big-O 表示法。 我知道 T(n( = aT(n/b( + f(n(，但我看不出如何得到 a 和 b 应该是什么。

直观地说，a是"有多少递归调用"，b是"将数据拆分成多少块"。请注意，递归调用中的参数不必n除以某些东西，通常它是描述数据量级如何更改的任何n函数。

例如，二叉搜索在每一层执行一个递归调用，将数据拆分为 2 个，并在每层执行恒定的工作，因此它具有T(n) = T(n/2) + c。合并排序每次将数据一分为二(拆分占用的工作与n成正比(，并在两个子数组上递归 - 所以你得到T(n) = 2T(n/2) + cn.

在您的示例中，您将有T(n) = T(n-1) + c，因为您正在进行一次递归调用并通过每次将其大小减小 1 来"拆分数据"。

要从中获得大O表示法，您只需进行替换或扩展即可。使用您的示例很容易：

T(n) = T(n-1) + c = T(n-2) + 2c = T(n-3) + 3c = ... = T(0) + nc

如果你假设T(0) = c0，一些"基常数"，那么你得到T(n) = nc + c0，这意味着所做的功是O(n)。

二叉搜索示例类似，但您必须进行替换 - 尝试让n = 2^m，看看您可以在哪里使用它。最后，推导出 eg 的大 O 表示法。T(n) = T(sqrt(n)) + c是一项非常酷的练习。

编辑：还有其他方法可以解决递归关系 - 主定理是一种标准方法。但是证明并不是特别好，上面的方法适用于我曾经应用的每一次复发。和。。。好吧，这比将值代入公式更有趣。

在您的情况下，递归关系为：

T(n) = T(n-1) + constant

主定理说：

T(n) = aT(n/b) + f(n) where a >= 1 and b > 1

这里主定理不能应用，因为对于主定理b应大于1(b>1)在您的情况下b=1

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