无论如何，避免浮点操作的最大在线点问题

Anyway to avoid floating point operation for Max Points on Line problem

本文关键字：在线 问题 操作 无论如何      更新时间：2023-10-16

我正在尝试解决Leet代码上的"在线最大点数"问题。我不可避免地需要进行浮点运算来计算每条线的 Y 截距和斜率。由于我过去的糟糕经历，我试图尽可能避免浮点运算。你有什么建议我怎么能在这里做到这一点吗？

我正在使用LeetCode框架进行开发，并且几乎只能访问标准C++库。 尝试使用双精度或长双精度，但其中一个测试用例已经将数字推到了这些数据类型准确性的极限。

//P1[0] is X coordinate for point P1 and P1[1] is Y coordinate
long double slopeCalc( vector<int> &p1, vector<int> &p2 )
{
if( p1[0] == p2[0] && p1[1] == p2[1] )
{
return DBL_MIN;
}
if( p1[0] == p2[0] && p1[1] != p2[1] )
{
return DBL_MAX;
}
return ( (long double)p2[1] - (long double)p1[1] ) / ((long double)p2[0] - (long double)p1[0]);
}
long double yIntersectionCalc( vector<int> &p1, vector<int> &p2 )
{
if( p1[0] == p2[0] && p1[1] == p2[1] )
{
return DBL_MIN;
}
if( p1[0] == p2[0] && p1[1] != p2[1] )
{
return DBL_MAX;
}
return ((long double)p1[1]*(long double)p2[0] - (long double)p2[1]*(long double)p1[0]) / (long double)(p2[0] - p1[0]);        
}

如果两个点是 (0， 0) 和 (94911150， 94911151)，则斜率计算为 1，这是不准确的。如果可能的话，我试图避免浮点划分。

注意：线上的最大点数问题将在 2D 空间中给定点(在本例中为整数坐标)，并找到一条线上的最大点数。例如，如果点是 (0,0)、(2,2)、(4,3)、(1,1)，则答案是 3，即点 (0,0)、(1,1) 和 (2,2)

在整数坐标中，三点的对齐测试可以写为表达式

(Xb - Xa) (Yc  - Ya) - (Yb - Ya) (Xc - Xa) = 0

假设坐标范围需要N位，则增量的计算需要N+1位，表达式的精确计算需要2N+2位。对此，你几乎无能为力。

在您的情况下，64 位整数就足够了。

一条建议：避免使用斜率/截距表示。

如果要避免使用浮点数，可以确定点 z 是否与其他两个点 x 和 y 共线的方法是计算矩阵的行列式

{{1,z1,z2},{1,x1,x2},{1,y1,y2}}

如果行列式为 0，则它们是共线的。由于使用排列定义计算行列式仅涉及乘法和加/减法，因此所有计算都将保留为整数。它为 0 的原因是行列式是三角形面积的两倍，以 x，y，z 为顶点，当且仅当三角形退化时为零。

另一种方法是使用 Fraction 对象，特别是由两个整数定义的线的斜率和截距被标识为 Fraction("有理数")，并且简化的分数由其分子和分母标识，因此您可以使用分数对(斜率、截距)作为标识符，并且由于您从不使用浮点运算，因此您无需处理舍入误差。有关分数的示例实现，请参阅 https://martin-thoma.com/fractions-in-cpp/，重要的部分是您可以使用算术运算符和规范化。

编辑：boost有一个有理数库，如果你想使用它 https://www.boost.org/doc/libs/1_68_0/libs/rational/

给定点a,b,c，查看b,c到一个共同点的斜率，a：

ba.x = b.x - a.x
ba.y = b.y - a.y
ba.s = ba.y / ba.x
ca.x = c.x - a.x
ca.y = c.y - a.y
ca.s = ca.y / ca.x

a,b,c点与AB线的点是共线的，BC具有共同的斜率，即：

ba.s == ca.s

替换和重新排列以消除分隔：

ba.y / ba.x == ca.y / ca.x
ba.y * ca.x / ba.x == ca.y
ba.y * ca.x == ca.y * ba.x

在原始公式中替换这些，然后a,b,c是共线的 iff：

(b.y - a.y) * (c.x - a.x) == (c.y - a.y) * (b.x - a.x)

请注意，决定性答案也可以重新排列成这种形式，这证明了这种方法。但是这种形式只有 2 次乘法，而不是 12 次用于朴素行列式实现。

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