二进制搜索不变以查找元素的首次出现

invariant of binary search for finding first occurrence of an element

本文关键字：元素 查找 搜索 二进制      更新时间：2023-10-16

我在定义找到二进制搜索的第一个元素的不变性方面存在问题。(我有一个排序的数组a，我想找到等于某个数字q的第一个元素，如果它不存在，则返回-1(

(

首先，我为自己设置了这个不变的。

我的不变

"始终是a [l]＆lt; = q，还有a [r]> q" ==>"始终l＆lt; = ind and> ind and> ind'。

到我的不变，我写了此代码：

int l=0,r=n;
while(l<r){
    int mid=(r+l)/2;
    if(a[mid]==q){
        r=mid+1;
    }
    else{
        if(a[mid]>q){
            r=mid;
        }else if(a[mid]<q) l=mid+1;
    }
}
return l;

但是有一个问题是if(a[mid]==q)然后我必须选择一个不会违反我不变的r。

如果我选择mid-1，我会违反它，因为a[r]将为＆lt; = q。

我必须遍历索引，直到找到 a[i]>q的索引i，然后将r设置为该索引。(r = i(==>，但是如果我这样做，那不是 O(log n)

我已经看到了一些实现lower_bound的代码，该if(a[mid]==q)将r设置为mid，但我认为它们违反了它们不变性，但它们是正确的，但它们是正确的并返回了正确的值。

喜欢此代码：

1- int l = 0;
2- int r = n; // Not n - 1
3- while (l < r) {
4-     int mid = (l + r) / 2;
5-     if (q <= a[mid]) {
6-         r = mid;
7-     } else {
8-         l = mid + 1;
9-     }
10- }
11- return l;

首先，不变性就像我的不变(i在[l,r)的范围内(，但在第5行中考虑if(q==a[mid])，然后显然是因为它违反了([l,r]，因为CC_16是相等的，并且可以是第一次出现(。

我是对的，还是我没有不变的正确理解概念？

假设我们有一个序列

..., <q, <q, <q, q, q, ..., q, q, >q, >q, >q, ...
                 ^ (*)

其中<q(>q(代表任何元素< q(> q(。我们想找到点(*(。

我们有两个指针left < right。我们如何使用它们来区分这一点？答案很简单：left应该指向最后一个<q元素，right应指向第一个q元素：

..., <q, <q, <q, q, q, ..., q, q, >q, >q, >q, ...
                 ^ right
             ^ left

不变的是：*left < q和*right >= q。

您建议的不变式*left <= q和*right > q对应于该顺序中的最后一个元素：

..., <q, <q, <q, q, q, ..., q, q, >q, >q, >q, ...
                                  ^ right
                               ^ left

一些可能有用的引用：

  • col.4：编写正确的程序＆ndash;J.Bentley。编程珍珠。Addison-Wesley，2 nd Ed。，1999。书网站

  • J.Bentley。编程珍珠：编写正确的程序。ACM 26 ，1040(1983(的通信。全文

  • 二进制搜索＆ndash;DR.DOBB的日记第一部分，第二部分，第三部分，第四部分，第五部分第六部分，第七部分，第七部分，第IX部分，X部分

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