字符串匹配算法的大O符号

它是O(n²)，其中n=max（长度（s1），长度（s2））（可以在小于二次时间内确定-见下文）。让我们来看看教科书上的定义：

f（n）∈O（g（n）），如果存在正实数c和正整数n所有n>=n 的c g（n）

通过这个定义，我们可以看到n代表一个数字-在这种情况下，这个数字是传入的字符串的长度。然而，有一个明显的差异，因为这个定义只提供了一个单变量函数f(n)，而在这里，我们清楚地传入了两个长度独立的字符串。因此，我们寻找大O的多变量定义。然而，正如Howell在"关于多变量渐近符号"中所证明的那样：

"为多变量函数定义big-O表示法是不可能的，因为它暗示了所有这些[通常假设的]性质。"

实际上，对于具有多个变量的大O有一个正式的定义，但这需要满足单个变量大O之外的额外约束，并且超出了大多数（如果不是全部）算法课程的范围。对于典型的算法分析，我们可以通过将所有变量绑定到限制变量n来有效地将函数简化为单个变量。在这种情况下，变量（特别是长度（s1）和长度（s2））显然是独立的，但可以将它们绑定：

方法1

Let x1 = length(s1)
Let x2 = length(s2)

该函数的最坏情况发生在没有匹配的情况下，因此我们执行x1*x2迭代。

因为乘法是可交换的，所以最坏情况的情况foo（s1，s2）==foo（s2，s1）的最坏情况。因此，在不失一般性的情况下，我们可以假设x1>=x2。（这是因为，如果x1<x2，我们可以通过以相反的顺序传递参数来获得相同的结果）。

方法2（如果您不喜欢第一种方法）

对于最坏的情况（s1和s2不包含公共字符），我们可以在循环迭代之前确定长度（s1）和长度（s2）（在.NET和Java中，确定字符串的长度是O（1），但在这种情况下是O（n）），将较大的值分配给x1，将较小的值分配给与x2。这里很清楚，x1>=x2。

对于这种情况，我们将看到，确定x1和x2的额外计算使这个O（n²+2n）。我们使用以下简化规则，可以在这里找到，将其简化为O（n平方）：

如果f（x）是几个项的总和，则保留增长率最大的项，而省略所有其他项。

结论

对于n = x1（我们的极限变量），使得x1 >= x2，最坏的情况是x1 = x2。因此：f(x1) ∈ O(n²)

额外提示

对于所有张贴到SO的与大O符号有关的家庭作业问题，如果答案不是以下之一：

O(1)
O(log log n)
O(log n)
O(n^c), 0<c<1
O(n)
O(n log n) = O(log n!)
O(n^2)
O(n^c)
O(c^n)
O(n!)

那么问题是可能最好被发布到https://math.stackexchange.com/

在big-O表示法中，我们总是必须定义出现的变量的含义。除非我们定义n是什么，否则O(n)没有任何意义。通常，我们可以省略这些信息，因为它从上下文中很清楚。例如，如果我们说某个排序算法是O(n log(n))，那么n总是表示要排序的项目数，所以我们不必总是声明这一点。

big-O表示法的另一个重要之处是它只给出了一个上限——O(n)中的每个算法也在O(n^2)中。该符号通常被用作"算法具有表达式给定的精确渐近复杂度（高达常数因子）"的含义，但它的实际定义是"算法的复杂度受给定表达式（高达恒定因子）的限制"。

在您给出的示例中，您将m和n分别作为两个字符串的长度。根据这个定义，该算法实际上是O(m n)。如果我们将n定义为两个字符串中较长字符串的长度，我们也可以将其写成O(n^2)——这也是算法复杂性的上限。与n的定义相同，该算法也是O(n!)，但不是O(n)或O(n log(n))。

O（n^2）

就复杂性而言，函数的相关部分是嵌套循环。最大迭代次数是s1的长度乘以s2的长度，两者都是线性因子，因此最坏情况下的计算时间是O（n^2），即线性因子的平方。正如伊桑所说，O（mn）和O（n^2）实际上是一回事。

这样想：

有两个输入。如果函数只是返回，那么它的性能与参数无关。这将是O（1）。

如果函数在一个字符串上循环，则性能与该字符串的长度线性相关。因此O（N）。

但是函数在循环中有一个循环。性能与s1的长度和S2的长度有关。将这些长度相乘，得到循环迭代次数。它不再是线性的，它遵循一条曲线。这是O（N^2）。