2^x*3^y*5^z的线性解

由于您要求给定代码的复杂性，

bool s_a (int a)
{
while (a % 2 == 0)
a = a / 2;
while (a % 3 == 0)
a = a / 3;
while (a % 5 == 0)
a = a / 5;
if (a == 1)
return true;
else
return false;
}
void s_b (int n)
{
unsigned int k = 1,nc = 1;
while ( k <= n)
{
if(s_a(nc) == true)
{
cout << nc << " ";
k++;
}
nc++;
}
}

”也希望能回答的复杂性

…很明显，这需要一个更深入的答案，而不仅仅是"；使用筛子"；。

该代码计算形式为2^a×3^{b×5c[/sup>的数，其中a、b和c是非负整数。}

这些数字在计算机科学中被称为Hamming数，更广泛地说，它们被称为正则数

顺便说一句，可以使上面的代码更加清晰

• 使用自我描述的名称，

• 直接在return语句中使用布尔表达式，而不是if-else构造，只说if(表达式)，而不是说if(，表达式==true)，以及

• 不是在基本的计算函数中执行i/o(考虑一下：这样的函数不能在GUI中使用)，而是返回结果。

然后是模格式和基本语法–我在此处使用我的首选项–代码可以是这样的：

auto is_hamming_number( int a )
-> bool
{
while( a % 2 == 0 ) { a = a / 2; }
while( a % 3 == 0 ) { a = a / 3; }
while( a % 5 == 0 ) { a = a / 5; }
return (a == 1);
}
auto hamming_numbers( int const n )
-> vector<int>
{
vector<int> result;
for( int i = 1; n != n_items( result ); ++i )
{
if( is_hamming_number( i ) )
{
result.push_back( i );
}
}
return result;
}

…其中n_items被定义为例如

template< class Container >
auto n_items( Container const& c )
-> ptrdiff_t
{ return c.size(); }

…以避免有符号/无符号比较以及相关的编译警告的问题。

在这个答案的第一个简短版本中，我发布了这个答案，以便在问题可能结束之前获得一个可编辑的答案，我写道

”对复杂性的简短回答是，上面的代码扫描

到并包括n到且明显包括n^k的所有数字，其中k相当小，例如k=1.36，并且对于每个数字，通过去除2、3和5的所有因子来检查它，我认为这平均是一个线性对数过程，因此(在这些假设下)它的复杂性是O(n^1.36logn)。网络上肯定有数学分析，但我没有找到。

我现在有了更好的数据，通过编码O(nlogn)时序生成器：

n最大火腿1 12 24 48 916 2532 9064 450128 3375256 43200512 10497601024 60466176

这表明n^thHamming数的增加速度快于n的平方。直觉上，我预计会出现指数级的行为。但我不是数学家，简单的谷歌搜索并没有让我对这种行为进行任何描述或数学分析。

简单代码的复杂性必须至少与n^thHamming数的行为一样高，因为它检查所有的数字。然后乘以从每个数字中去除2、3和5个因子所需的时间，我认为这是数字大小的对数。所以我们讨论的是至少O(n²×log(n))，但我不确定它有多糟糕

研究(谷歌搜索)n^th汉明数的行为，我发现这个问题的部分重复，即(寻找汉明数-而不是代码或距离)。M Oehm答案中的第二个代码示例几乎正是你所要求的，模化线性复杂性要求。然而，正如你在对这个答案的评论中所澄清的那样，

”它并没有完全达到我想要的效果，因为它显示的是小于n的hamming数，而不是前n个hamming数。此外，代码使用了一些我还没有学会的东西，比如筛子，因此有点难以理解

下面的代码使用Oehm第二个例子的主要思想，即直接生成小于某个极限的(2,3,5)因子组合的所有乘积，然后对它们进行排序，而不是筛选。

为了生成至少n这样的乘积，下面的代码对n^th汉明数进行了猜测。如果这个猜测太低–因为生成的汉明数少于n–则猜测加倍并且重新生成汉明数。加倍意味着最后一代的复杂性压倒了任何前代的复杂性，因此它们可以忽略复杂性。

#include <algorithm>        // std::sort
#include <assert.h>         // assert
#include <iostream>
#include <limits.h>         // INT_MAX
#include <math.h>           // pow
#include <stddef.h>         // ptrdiff_t
#include <unordered_set>    // std::unordered_set
#include <vector>           // std::vector
using namespace std;
using Size = ptrdiff_t;     // Signed integer corresponding to size_t.
template< class Container >
auto n_items( Container const& c )
-> Size
{ return c.size(); }
class Hamming_sequence
{
private:
int             n_;
vector<int>     numbers_;
public:
auto computed_numbers() const
-> vector<int> const&
{ return numbers_; }
auto size() const -> Size   { return n_; }
auto begin() const          { return numbers_.begin(); }
auto end() const            { return begin() + size(); }
auto operator[]( Size const i ) const
-> int
{ return numbers_[i]; }
Hamming_sequence( int const n )
: n_( n )
{
double const fp_max_number = pow( n, 2.5 );     // Reasonable
assert( fp_max_number <= INT_MAX );
int max_number  = static_cast<int>( fp_max_number );
while( n_items( numbers_ ) < n )
{
numbers_.clear();
clog << ": trying with max number " << max_number << endl;
for( int two = 1; two <= max_number/2; two *= 2 )
{
for( int three = 1; three <= max_number/two/3; three *= 3 )
{
for( int five = 1; five <= max_number/two/three/5; five *= 5 )
{
int const number = two*three*five;
numbers_.push_back( number );
}
}
}
assert( max_number <= INT_MAX/2 );
max_number *= 2;
}
sort( numbers_.begin(), numbers_.end() );       // O( n*log(n) )
}
};
#include <iomanip>      // setw
auto main() -> int
{
for( int const number : Hamming_sequence{ 720 } )
{
cout << number << " ";
}
cout << "n";
cout << "n";
Hamming_sequence const h{ 1024 };
for( int i = 1; i <= n_items( h ); i *= 2 )
{
cout << setw( 5 ) << i << setw( 15 ) << h[i-1] << endl;
}
}

assert并不是关于我认为在执行中的这些点上是正确的断言，而是一种在数字太大而无法处理时使程序崩溃的设备。所以这不是"；生产代码"；。对于更健壮的代码，请替换为例如异常抛出。

关于复杂性，对于不太小的n，关于最大汉明数的最终猜测必然在真值的2倍以内。由于汉明数的值加倍(参见上面的行为表)并不会使序列长度加倍，因此计算的汉明数在2n内。通过添加排序，这在汉明数的数量中给出了O(nlogn)。

维基百科的文章描述了Edsger W.Dijkstra的线性时间算法，简而言之，就是将3个数列2×H、3×H和5×H合并，其中H是基本汉明数列。这是因为每一个汉明数h都是2×h、3×h和5×>h-是一些较小的汉明数。因此，我们可以继续前进：

#include <algorithm>        // std::min_element
#include <array>            // std::array
#include <assert.h>         // assert
#include <iostream>
#include <limits.h>         // INT_MAX
#include <math.h>           // pow
#include <stddef.h>         // ptrdiff_t
#include <unordered_set>    // std::unordered_set
#include <vector>           // std::vector
using namespace std;
using Size = ptrdiff_t;     // Signed integer corresponding to size_t.
template< class Container >
auto n_items( Container const& c )
-> Size
{ return c.size(); }
class Hamming_sequence
{
private:
int             n_;
vector<int>     numbers_;
template< int factor >
struct H_
{
vector<int>&    h_;
int             i_  = 0;
auto operator*()
-> int
{
assert( h_[i_] <= INT_MAX/factor );
return factor*h_[i_];
}
void operator++() { ++i_; }
H_( vector<int>& numbers ): h_( numbers ) {}
};
public:
auto computed_numbers() const
-> vector<int> const&
{ return numbers_; }
auto size() const -> Size   { return n_; }
auto begin() const          { return numbers_.begin(); }
auto end() const            { return begin() + size(); }
auto operator[]( Size const i ) const
-> int
{ return numbers_[i]; }
Hamming_sequence( int const n )
: n_( n )
{
H_<2>   h2{ numbers_ };
H_<3>   h3{ numbers_ };
H_<5>   h5{ numbers_ };
numbers_ = {1};
array<int, 3>   h = {*h2, *h3, *h5};
int previous = 1;
while( n_items( numbers_ ) < n_ )
{
int const i = min_element( h.begin(), h.end() ) - h.begin();
if( h[i] != previous )
{
numbers_.push_back( h[i] );
previous = h[i];
}
switch( i )
{
case 0: ++h2; h[0] = *h2; break;
case 1: ++h3; h[1] = *h3; break;
case 2: ++h5; h[2] = *h5; break;
}
}
}
};
#include <iomanip>      // setw
auto main() -> int
{
for( int const number : Hamming_sequence{ 720 } )
{
cout << number << " ";
}
cout << "n";
cout << "n";
Hamming_sequence const h{ 1024 };
for( int i = 1; i <= n_items( h ); i *= 2 )
{
cout << setw( 5 ) << i << setw( 15 ) << h[i-1] << endl;
}
cout << "n";
cout << "The 1500'th Hamming number is " << Hamming_sequence( 1'500 )[1'499] << "." << endl;
}

输出：

1 2 3 4 5 6 8 9 12 15 16 20 24 25 27 30 36 40 45 48 50 60 64 72 75 80 90 96 100 120 125 128 135 144 150 160 162 180 192 200 225 240 243 250 270 288 300 320 360 375 384 400 432 450 480 486 500 512 540 576 600 625 640 648 675 720 729 750 768 800 810 864 900 972 1000 1024 1080 1125 1152 1200 1215 1250 1280 1296 1350 1440 1458 1500 1536 1600 1620 1728 18001875 1920 1944 2000 2025 2048 2160 2187 2250 2304 2400 2430 2500 2560 2592 2700 2880 2916 3000 3072 3125 3200 3240 3375 3456 3600 3645 3750 3840 3888 4000 4050 4096 4320 4374 4500 4608 4800 4860 5000 5120 5184 5400 5625 5760 5832 6000 6075 6144 6250 6400 6480 6561 6750 6912 7200 7290 7500 7680 7776 8000 8100 8192 8640 8748 9000 9216 9375 9600 9720 10000 10125 10240 10368 10800 10935 11250 1152011664 12000 12150 12288 12500 12800 12960 13122 13500 13824 14400 14580 15000 15360 15552 15625 16000 16200 16384 16875 17280 17496 18000 18225 18432 18750 19200 19440 19683 20000 20250 20480 20736 21600 21870 22500 23040 23328 24000 24300 24576 25000 25600 25920 26244 27000 27648 28125 28800 29160 30000 30375 30720 31104 31250 32000 32400 32768 32805 33750 34560 34992 36000 36450 36864 3750038400 38880 39366 40000 40500 40960 41472 43200 43740 45000 46080 46656 46875 48000 48600 49152 50000 50625 51200 51840 52488 54000 54675 55296 56250 57600 58320 59049 60000 60750 61440 62208 62500 64000 64800 65536 65610 67500 69120 69984 72000 72900 73728 75000 76800 77760 78125 78732 80000 81920 82944 84375 86400 87480 90000 91125 92160 93312 93750 96000 97200 98304 98415 100000 101250102400 103680 104976 108000 109350 110592 112500 115200 116640 118098 120000 121500 122880 124416 125000 128000 129600 131072 131220 135000 138240 139968 140625 144000 145800 147456 150000 151875 153600 155520 156250 157464 160000 163840 164025 165888 168750 172800 174960 177147 180000 182250 184320 186624 187500 192000 194400 196608 196830 200000 202500 204800 207360 209952 216000 218700221184 225000 230400 233280 234375 236196 240000 243000 245760 248832 250000 253125 256000 259200 262144 262440 270000 273375 276480 279936 281250 288000 291600 294912 295245 300000 303750 307200 311040 312500 314928 320000 324000 327680 328050 331776 337500 345600 349920 354294 360000 364500 368640 373248 375000 384000 388800 390625 393216 393660 400000 405000 409600 414720 419904 421875 432000437400 442368 450000 455625 460800 466560 468750 472392 480000 486000 491520 492075 497664 500000 506250 512000 518400 524288 524880 531441 540000 546750 552960 559872 562500 576000 583200 589824 590490 600000 607500 614400 622080 625000 629856 640000 648000 655360 656100 663552 675000 691200 699840 703125 708588 720000 729000 737280 746496 750000 759375 768000 777600 781250 786432 787320 800000810000 819200 820125 829440 839808 843750 864000 874800 884736 885735 900000 911250 921600 933120 937500 944784 960000 972000 983040 984150 995328 1000000 1012500 1024000 1036800 1048576 1049760 1062882 1080000 1093500 1105920 1119744 1125000 1152000 1166400 1171875 1179648 1180980 1200000 1215000 1228800 1244160 1250000 1259712 1265625 1280000 1296000 1310720 1312200 1327104 1350000 13668751382400 1399680 1406250 1417176 1440000 1458000 1474560 1476225 1492992 1500000 1518750 1536000 1555200 1562500 1572864 1574640 1594323 160000 1620000 1638400 1640250 1658880 1679616 1687500 1728000 1749600 1769472 1771470 180000 1822500 1843200 1866240 1875000 1889568 1920000 1944000 1953125 1966080 1968300 1990656 2000000 2025000 2048000 2073600 2097152 2099520 2109375 2125764 2160000 21870002211840 2239488 2250000 2278125 2304000 2332800 2343750 2359296 2361960 2400000 2430000 2457600 2460375 2488320 2500000 2519424 2531250 2560000 2592000 2621440 2624400 2654208 2657205 2700000 2733750 2764800 2799360 2812500 2834352 2880000 2916000 2949120 2952450 2985984 3000000 3037500 3072000 3110400 3125000 3145728 3149280 3188646 3200000 3240000 3276800 3280500 3317760 3359232 3375000 34560003499200 3515625 3538944 3542940 3600000 3645000 3686400 3732480 3750000 3779136 3796875 3840000 3888000 3906250 3932160 3936600 3981312 4000000 4050000 4096000 4100625 4147200 4194304 4199040 4218750 4251528 4320000 4374000 4423680 4428675 4478976 4500000 4556250 4608000 4665600 4687500 4718592 4723920 4782969 4800000 4860000 4915200 4920750 4976640 5000000 5038848 5062500 5120000 5184000 52428805248800 5308416 5314410 5400000 5467500 5529600 5598720 5625000 5668704 5760000 5832000 5859375 5898240 5904900 5971968 6000000 6075000 6144000 6220800 6250000 6291456 6298560 6328125 6377292 6400000 6480000 6553600 6561000 6635520 6718464 6750000 6834375 69120001 12 24 48 916 2532 9064 450128 3375256 43200512 10497601024 60466176第1500个汉明数是859963392。