查找半径为 R 且维度为 D 的球体内以原点为中心的整数点数

Finding the number of integer points inside a sphere of radius R and dimension D centered at the Origin

本文关键字：原点 为中心 整数 查找      更新时间：2023-10-16

我正在编写一个计算机程序/算法来计算半径为R和以原点为中心的维度D的球体内的整数点数。本质上，如果我们有一个维度为 2（圆）和半径为 5 的球体，我正在确定不等式 X^2+Y^2 ≤ 25 的所有整数解。与其计算每个可能的整数点，有没有一种有效的方法来计算点？使用对称性？

假设维度为 3，R 是半径。对于 z = 0，可能的 x，y 坐标是半径 R 的圆内的点，对于任何 z，x，y 是半径 sqrt（ R * R - z * z） 的圆内的点;Z 的可能值是 -r， ..0, 1, ..r 其中 r 是小于 R 的最小整数。请注意，z 和 -z 的计数将相同。

当我们下降到维度 1 时，我们问我满足多少个整数 |i|

所以：

int ncip( int dim, double R)
{   
    int i;
    int r = (int)floor( R);
    if ( dim == 1)
    {   return 1 + 2*r; 
    }
    int n = ncip( dim-1, R); // last coord 0
    for( i=1; i<=r; ++i)
    {   n += 2*ncip( dim-1, sqrt( R*R - i*i)); // last coord +- i
    }
    return n;
}

好吧，使用对称性，您始终可以只计算正侧的所有整数解，然后反转分量。所以，在你的圆圈（D = 2，R = 5）的情况下，你只需要找到
{ X，Y ∈ N： X²+Y² ≤ R }.然后创建组合 （X，Y）、（X，-Y）、（-X，Y）、（-X，-Y）
这只剩下 （1/2）D 解决方案可供查找。

此外，您可以将半径 R 的圆近似为半径为 R/√2 的正方形，因此可以自动添加小于或等于该值的所有整数组合。

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