当仅恒定项之一变化时，线性系统AX = B的有效解决方案

Efficient solution of linear system Ax= b when only one of the constant term changes

本文关键字：AX 线性系统解决方案有效变化更新时间：2023-10-16

当仅少数常数术语更改时，如何有效地求解了线性方程的大系统。例如：

i当前有系统ax = b。我计算一次的倒数，将其存储在矩阵中，每次输入更新在B中进行矩阵矢量乘法A^-1（b）以重新计算X。

这效率低下，因为只有几个条目在b中进行更新。当A-1保持恒定但特定的已知值变化时，是否有更有效的方法来解决该系统。

我使用UBLA和EIGEN，但不知道可以解决此选择性重新计算问题的解决方案。感谢您的任何指导。

计算A^-1。如果b_i是b的ITH组件，则检查d/db_i A^-1 b（相对于b的ITH组件，A^-1的衍生物） - 它等于A^-1的一列（尤其是ITH列）。线性函数的导数在其域上是恒定的。因此，如果您具有b和b'，并且它们仅在ITH组件中有所不同，则为A^-1 b - A^-1 b' = [d/db_i A^-1] * (b-b')_i。对于多个组件，只需添加它们（因为A^-1是线性的）。

或简而言之，您可以对零的输入组件进行一些优化计算A^-1 (b'-b)（如果只有某些组件更改，将是大多数组件）。A^-1 b' = A^-1 (b'-b) + A^-1 (b)。而且，如果您知道只有某些组件会更改，则可以获取A^-1的适当列的副本，然后将其乘以B。

的该组件的更改。

您可以利用问题的线性：

x0 = A_(-1)*b0 
x = A_(-1)*b = x0 + A_(-1)*db

db是a b和 b0之间的差异矩阵，应填充零：您可以将其压缩到稀疏矩阵中。

特征lib具有许多稀疏矩阵（乘法，倒数，...）的酷功能。

首先，不要执行矩阵倒置，而是使用求解器库。其次，将您的初始x作为第一个猜测传递到库。

库将执行某种分解，例如LU，并使用它来计算x。如果您选择一个迭代求解器，那么它已经在做您在解决方案中所描述的几乎要做的事情。它将以更糟糕的猜测开始，并产生更好的猜测，任何良好的例程都将需要一个初始猜测来加快过程。在许多情况下，无论如何，您都对结果有一个好主意，因此利用它是有意义的。

如果新的b在旧的b附近，则新的x应该在旧的x附近，它将是一个很好的初始猜测。

首先，请勿计算矩阵逆，而是使用lu分解或QR分解（比LU较慢，但Stabler慢）。这种分解比矩阵大小更好地缩放比反演性能，通常是稳定器（尤其是QR）。

如果A稍微更改（例如，排名一个矩阵），则有多种方法可以更新QR分解o（n^2）。

但是，如果右侧B仅通过固定元素变化，即。B'= B db，并提前已知DB，您可以一劳永逸地解决DX = DB，现在解决方案X'of AX'= B'为x dx。

如果不提前知道db，但始终是一些db_i矢量的线性组合，则可以解决dx_i = db_i，但是如果您有很多这样的db_i事实等于计算逆）...