如何计算 A、B、C <= 10^18 的 (A*B)%C(以 C++为单位)?
How can I calculate (A*B)%C for A,B,C <= 10^18, in C++?
例如,A=10^17, B=10^17, C=10^18.
产品 A*B 超过长长 int 的限制。
此外,写入 ((A%C)*(B%C))%C 也无济于事。
假设你想保持在 64 位整数运算内,你可以使用二进制长除法,它归结为一堆加法并乘以两个运算。这意味着您还需要这些运算符的防溢出版本,但这些版本相对简单。
下面是一些 Java 代码,它假设 A 和 B 已经是正数并且小于 M。如果没有,很容易事先制作它们。
// assumes a and b are already less than m
public static long addMod(long a, long b, long m) {
if (a + b < 0)
return (a - m) + b; // avoid overflow
else if (a + b >= m)
return a + b - m;
else
return a + b;
}
// assumes a and b are already less than m
public static long multiplyMod(long a, long b, long m) {
if (b == 0 || a <= Long.MAX_VALUE / b)
return a * b % m; // a*b > c if and only if a > c/b
// a * b would overflow; binary long division:
long result = 0;
if (a > b) {
long c = b;
b = a;
a = c;
}
while (a > 0) {
if ((a & 1) != 0) {
result = addMod(result, b, m);
}
a >>= 1;
// compute b << 1 % m without overflow
b -= m - b; // equivalent to b = 2 * b - m
if (b < 0)
b += m;
}
return result;
}
您可以使用
GNU 多精度算术库
https://gmplib.org/
或
C++ 大整数库
https://mattmccutchen.net/bigint/
则可以创建一个包含 2 个成员的简单类:一个基数和 10 的幂,因此 A=10^17 将是 {1, 17}。实现加、减、乘和除非常容易,打印也是如此。
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