快速排序时间复杂度

logn是如何进入复杂性公式的？

• 对于每个步骤，您在前半部分和后半部分递归调用算法。

• 因此 - 所需的步骤总数是如果您每一步将问题设计为 2 个，则从 n 到 1 达到所需的次数。
  因此，您实际上正在寻找一种k：

  n / 2 /2 / 2 / ... /2 = 1
          ^
       (k times) 
  

  但是，请注意，等式实际上是：n / 2^k = 1 .自2^logn = n年以来，我们得到了k = logn。因此，算法所需的步骤数（迭代）是 O（logn），这将使算法O(nlogn) - 因为每次迭代都是O(n) .

注意：这里的复杂性并不完全，快速排序在极少数情况下衰减到O(n^2)，这取决于枢轴选择。"每一步将问题设计 2 个"是一种简化，但它不会改变算法的平均分析。

为什么要使用大O表示法？
它简单且独立于平台。
操作的确切数量（有时甚至是比较）取决于平台。（如果指令集 A 比指令集 B 更丰富，则可能需要更多操作）。
这绝对不是使用的唯一方法。对于现实生活中的应用，确切的运行时间（以秒为单位）是非常重要的因素，并且经常使用。

因此，简而言之 - 大 O 符号让我们易于计算 - 关于算法将如何渐近（在无穷大处）的行为与平台无关的近似值，这可以将算法的"家族"划分为它们复杂性的子集，让我们轻松地在它们之间进行比较。

此外，使用的其他符号是小o，theta和大/小欧米茄。

Ques 1.快速排序的最坏情况时间复杂度为 O（n^2），而平均情况复杂度为 O（nlogn）。logn 因子取决于枢轴，即算法如何选择它。

当枢轴递归生成两个大小为 1 的元素和另一个大小为 （n-1） 的元素的区域时，会发生快速排序最坏情况的时间复杂性。而当枢轴选择两个区域时，会发生平均情况，这样生成的两个区域的大小都为 n/2。

所以产生的递归关系是T（n）=2T（n/2）+Θ（n）。

                  f(n)=Θ(n)     
                  h(n)=n^log2(2)=>n 
                  since f(n) = h(n) so
                  T(n)= f(n)logn =>n(logn).

（这里我们使用 Θ 表示法，因为快速排序的最坏情况复杂度 （大 O） 是 O（n^2），这里我们计算的是平均情况复杂度。

问题 2.我们使用大 O 表示法，因为它给出了最坏情况时间复杂度的想法，即使参数趋于无穷大，这也限制了算法，这意味着算法至少会在这个时间复杂度下运行并且不能超越它。

而还有其他符号，如小o，θ和大/小欧米茄，由于它们的应用有限，因此经常使用。

请阅读Cormen等人的算法简介。在第3章中，您将找到有关算法复杂性分析的良好解释。 你会发现大O并不是唯一使用的渐近符号。

尽管这更像是一个关于计算机科学的问题，可以通过对这个问题的评论来更彻底地解释——

问题 1：log（n） 表示问题以比 O（n） 问题更高的速率扩展因子 log（n）。省略小于 n*log（n） 的项（如 n），因为它们的缩放速度比最大项慢。

2：还有其他指标，O（大O）是问题扩展的最坏情况。请参阅评论中的书籍链接，看看其他链接是什么/意思，因为那里解释得更好。