寻找多种方法来在硬币变化中赚取总和

Finding number of ways to make a sum in coin changing?

本文关键字：变化硬币方法寻找更新时间：2023-10-16

给定一个值 N，如果我们想为 N 美分做零钱，并且我们有无限供应 S = { S1， S2， .. ， Sm} 值硬币，我们有多少种方法可以进行更改？硬币的顺序并不重要。

例如，对于 N = 4 和 S = {1,2,3}，有四种解决方案：{1,1,1,1}，{1,1,2}，{

2,2}，{1,3}。所以输出应该是 4。对于 N = 10 且 S = {2， 5， 3， 6}，有五种解决方案：{2,2,2,2,2}、{2,2,3,3}、{2,2,6}、{2,3,5} 和 {5,5}。所以输出应该是 5。

现在，我有一个疑问。为什么我们不能做这样的事情，

arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2] + arr[i-3]

这基本上是，arr[i]存储使总和i的方法的数量。我在这里给出的方法有点类似于n stairs problem，即我可以爬固定数量的楼梯，也就是说，假设一次爬 1 个楼梯或一次爬 2 个楼梯，我必须计算从底部到达顶部的路径总数。为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？

为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？

它不起作用，因为在n个楼梯问题中，顺序很重要。例如，如果您要爬 5 个楼梯，{1， 2， 1， 1} 被视为与 {1， 1， 2， 1} 不同。

然而，在进行更改问题中，只有每个硬币的总数计数，而不是您添加它们的顺序，因此如果您赚取 5 美元，{$1， $2， $1， $1} 与 {$1， $1， $2， $1} 相同。因此，简单的记忆方法不起作用，您需要存储到达arr[i]的所有可能方法，而不仅仅是总数。

例如，假设您尝试用 6 美元和 1 美元赚 2 美元。你不能只是将赚 4 美元的方法数量添加到赚 5 美元的方法数量上，因为（例如）赚 4 美元的方法之一是 {$1， $1， $2}（你可以加上 $2 来赚 6 美元，即 {$1， $1， $2， $2}），而赚 5 美元的方法之一是 {$1， $2， $2} （您可以添加 $1 以赚取 $6 {$1， $2， $2， $1}）。

但是，{$1， $2， $2， $1} 和 {$1， $

1， $2， $2} 不应单独计算。

> Samgak的回答解释了做出改变与一次爬1或2步楼梯的不同之处：顺序对于做出改变并不重要，但是当你爬楼梯时，顺序很重要。

您可以使用动态编程来解决问题，但您需要更复杂的状态。让我们a[i][j]是仅使用硬币的前j面额来改变i单位货币的方法的数量。因此，a[0][0]=1 ，对于 i 大于 0，对于 j 大于 0，a[i][0] = 0 a[i][j] = a[i][j-1] + a[i-Sj][j-1] + a[i-2*Sj][j-1]+...