硬币的变化(硬币的价值是m的幂)

Coin change (coin values are powers of m)

本文关键字：硬币 的幂 变化      更新时间：2023-10-16

下面的问题是一个比赛(现在已经结束了)比赛环节。

这似乎是经典硬币面额问题的变体-给定一个数组(k个元素)，它有硬币值和一个数字n。我们需要回答n的命名方法的个数。我们可以用DP来解决它，这将花费O(n*k)的时间。现在在竞赛问题中，不是给出硬币值数组，而是有一个值m，硬币值是m的所有可能的幂，例如n= 200, m=3.，所以我们有[3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4]的硬币值，更高的幂对于这个例子来说是没有用的。

我在这里使用DP方法，但它给出TLE。通过testcases<=10000, n<=10000, m<=10000的时间限制，我认为我们必须在O(n)的时间内解决n,m的问题[可能还需要优化这个问题]。请帮我解决这个问题。我的解决方案是使用DP .

#include <bits/stdc++.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int solve(vector<int>&vec, int n){
    cout<<"n= "<<n<<": m= "<<vec.size()<<endl;
    int r=n+1, c=vec.size()+1;
    vector<int>row(c,0);
    vector<vector<int> >dp(r, row);
    for(int i=0;i<c;i++)
        dp[0][i]=1;
    for(int i=1;i<r;i++){
        for(int j=1;j<c;j++){
            int a=0;
            if(i-vec[j-1]>=0)
                a=dp[i-vec[j-1]][j];
            dp[i][j]=a+dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[n][c-1];
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int tc,n,m;
    cin>>tc;
    while(tc--){
        cin>>n>>m;
        vector<int>temp;
        int index=0;
        temp.push_back(1);
        while(temp[index]*m<=n){
            temp.push_back(temp[index]*m);
            index++;
        }
        int result=solve(temp,n);
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}

"硬币变化"和类似的分区问题通常从记忆中受益匪浅。我发现，基于m的幂次硬币值的聪明的数学技巧，无法击败带有记忆的直接递归算法。(在回答一个相关问题时，我更详细地说明了记忆对分区算法的影响)

下面的Javascript代码示例解决了n,m = 200,3在0.026ms中的示例，以及最坏的情况，n,m = 10000,2在我的i5桌面上在2.8ms;我不知道比赛的时间限制是多少，但是10000个随机案例大约需要3秒。c++实现当然会快得多。

function coinPowers(n, m) {
    if (n < 1 || m < 1) return 0;
    if (n < m || m == 1) return 1;
    var power = Math.floor(Math.log(n) / Math.log(m));
    var memo = [];
    for (var i = 0; i < n; i++) memo[i] = [];
    return partition(n, m, power);
    function partition(n, m, power) {
        var count = memo[n - 1][power];
        if (count) return count;
        var coin = Math.pow(m, power), count = 1;
        for (var p = power; p > 0; coin /= m, p--) {
            if (coin < n) count += partition(n - coin, m, p)
            else if (coin == n) ++count;
        }
        return (memo[n - 1][power] = count);
    }
}
document.write(coinPowers(200, 3) + "<BR>");
document.write(coinPowers(200, 2) + "<BR>");
document.write(coinPowers(10000, 2) + "<BR>");

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