寻找最优子结构

Finding optimal substructure

本文关键字：结构 寻找      更新时间：2023-10-16

我正在寻找一些关于动态编程问题的指针。我找不到任何关于如何解决这类问题的相关信息。

问题

 A number is called a special number if it doesn't contain 3 consecutive 
 zeroes. i have to calculate the number of positive integers of exactly d digits 
 that are special answer should be modulo 1000000007(just for overflow in c++).

问题可以很容易地通过排列和组合来解决，但我希望它与动态规划。我无法找到它的最佳子结构或自下而上的方法。

设f(d,x)为最后一个x数字为零的最高有效d数字的数量，其中0≤x≤2.对于d>1、我们有复发：

f（d，0）=（f（d-1,0）+f（d-1,1）+ff（d，1）=f（d-1,0）//ff（d，2）=f（d-1，1）//f（d、2）来自d-1数字模式，其中一个尾随零后加一个零

对于d=1，我们有f(1,0) = 9, f(1,1) = 0, f(1,2) = 0。

原来问题的最终答案是f(d,0) + f(d,1) + f(d,2)。

这里有一个简单的演示C程序：

#include <cstdio>
const int MOD = 1000000007;
long long f[128][3];
int main() {
  int n;
  scanf("%d",&n);
  f[1][0] = 9;
  for (int i = 2 ; i <= n ; ++i) {
    f[i][0] = (f[i-1][0] + f[i-1][1] + f[i-1][2]) * 9 % MOD;
    f[i][1] = f[i-1][0];
    f[i][2] = f[i-1][1];
  }
  printf("%lldn", (f[n][0] + f[n][1] + f[n][2]) % MOD);
  return 0;
}

注意：我还没有彻底测试我的逻辑，所以请指出我可能错在哪里。

问题的复发可能是

f(d)=f(d/2)*f(d-d/2)-( f(d/2-1)*f(d-d/2-2) + f(d/2-2)*f(d-d/2-1) )f(0)=1;f(1)=10;f(2)=100;f(3)=999;

这里，f(i)是考虑到"0"可以作为第一个数字出现，可以形成的特殊数字的总数。因此，"d"数字的实际答案是9*f(d-1)。

您可以很容易地将递归解决方案记忆起来，以制作DP解决方案。

我还没有试过这个解决方案的有效性，所以它可能是错误的。这是我的逻辑：

对于f(d)，将数字划分为d/2和(d-d/2)位数，加上f(d)*f(d-d/2)的乘积。现在，要删除可能在我们创建的分区中出现的无效情况，请从答案中减去f(d/2-1)*f(d-d/2-2) + f(d/2-2)*f(d-d/2-1)（假设在我们创建了分区中出现三个零）。用纸和笔试试，你就会得到它。

相关文章：