将复数作为输入进行优化

Optimization to find complex number as input

本文关键字：优化 输入      更新时间：2023-10-16

我想知道是否有C/C++库或Matlab代码技术可以使用最小化求解器来确定实数和复数。这里有一个代码片段，显示了我想做的事情。例如，假设我知道Utilde，但不知道x和U变量。在给定Utilde的情况下，我想使用优化（fminsearch）来确定x和U。注意，Utilde是一个复数。

x = 1.5;
U = 50 + 1i*25;
x0 = [1 20];  % starting values
Utilde = U * (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x);
xout = fminsearch(@(v)optim(v, Utilde), x0);
function diff = optim(v, Utilde)
x = v(1);
U = v(2);
diff =  abs( -(Utilde/U) + (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x  ) );

上面的代码没有收敛到正确的值，并且xout = 1.7318 88.8760。然而，如果不是复数的U = 50，则xout = 1.5000 50.0000是适当的值。

在给定Utilde为复数的情况下，Matlab或C/C++中是否有方法确保适当的收敛？也许我必须更改上面的代码？

  • 如果没有一种方法可以在Matlab中实现这一点，那么也许可以问题的要点是：是否存在多变量（即。Nelder Mead或类似算法）优化库如何处理真实而复杂的输入和输出？

  • 另一个问题是函数是否收敛。我不知道是算法还是函数。我是否需要更改Utilde = U * (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x)表达式中的某些内容以使其收敛？

这里的主要问题是，这个优化或参数拟合问题没有唯一的解决方案。例如，从上面的预期和实际结果来看，Utilde对于两个（x，U）对是等效的（忽略舍入差），即

Utilde(x = 1.5, U = 50 + 25i) = Utilde(x = 1.7318, U = 88.8760)

虽然我没有深入研究过它，但我甚至怀疑，对于x的任何值，都可以找到一个计算为Utilde(x, U) = Utilde(x = 1.5, U = 50 + 25i)的U。

因此，这里的解决方案是进一步约束参数拟合问题，以便求解器产生任何可以被认为是可接受的解决方案。或者，重新表述Utilde，使其具有任何（x，U）对的唯一值。

更新，8月1日

给定合理的起始值，实际上似乎将x限制为实值就足够了。使用上面公式化的diff函数进行无约束非线性优化，得到以下结果：

x = 1.50462926953244
U = 50.6977768845879 + 24.7676554234729i
diff = 3.18731710515855E-06

然而，将起始猜测更改为离期望值更远的值确实会产生不同的解决方案，因此将x限制为实数并不能单独为该问题提供唯一的解决方案。

我已经在C#中使用BOBYQA优化器实现了这一点，但数字应该与上面的相同。如果你想在Matlab之外尝试，使用std:：complex类和你自己选择的（无约束的）非线性C++优化器将下面的C#代码转换为C++代码也应该相对简单。您可以在这里找到一些不需要梯度计算的C++兼容代码，在Numerical Recipes中也有各种实现。例如，您可以在此处在线访问NR的C版本。

作为参考，以下是我的C#代码的相关部分：

class Program
{
    private static readonly Complex Coeff = new Complex(-2.0, 2.0);
    private static readonly Complex UTilde0 = GetUTilde(1.5, new Complex(50.0, 25.0));
    static void Main(string[] args)
    {
        double[] vars = new[] {1.0, 25.0, 0.0}; // xstart = 1.0, Ustart = 25.0
        BobyqaExitStatus status = Bobyqa.FindMinimum(GetObjfnValue, vars.Length, vars);
    }
    public static Complex GetUTilde(double x, Complex U)
    {
        return U * Complex.Exp(Coeff * x);
    }
    public static double GetObjfnValue(int n, double[] vars)
    {
        double x = vars[0]; 
        Complex U = new Complex(vars[1], vars[2]);
        return Complex.Abs(-UTilde0 / U + Complex.Exp(Coeff * x));
    }
}

fminsearch的文档在限制部分介绍了如何处理复数：

fminsearch只在实数上最小化，即x必须只由实数组成，f(x)必须只返回实数。当x有复杂的变量时，它们必须分为实部和虚部。

可以使用函数real和imag分别提取实部和虚部。

似乎没有简单的方法可以做到这一点，即使x和U都是实数。对于优化问题，Utilde的方程不是适定的，因此必须对其进行修改。

我试着编写我自己版本的Nelder-Mead优化算法，并尝试了Powell的方法。两者似乎都不能很好地解决这个问题，即使我试图修改这些方法。

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