对具有多个检查点的网格中的路径进行计数

Count paths in a grid with multiple checkpoints

本文关键字：路径网格检查点更新时间：2023-10-16

给定大小为N X N的网格。其左下角点为(0,0)，右上角元素为(N-1,N-1)。

我们可以在顶部或右侧穿过网格。我们必须找到从左下角到右上角的遍历方法的数量有一些检查点我们必须在每条路径上访问。至少有一个有效路径。

示例：设N=5，我们在(2,2)有一个检查点，那么这里的答案是36。

注意：我只需要计算有效路径，而不需要担心找到它们

什么是有效的计数方法？

您必须知道两件事：

乘积法则：表示从起点到终点的路数等于从起点到中点的路数*从中点到终点的路数。
C（R，R+U）（R是你向右移动的次数，U是向上移动的次数——这意味着如果你想从(a,b)到(c,d)，那么R = c-a、U = d-b和C(R,R+U) = (R+U)!/R!U!）是网格中从左下到右上有多少种方式的答案。

示例在您的示例中，根据我的第二条规则，我们有：

从(0,0)移动到(2,2)的次数，因为从0向右移动两次之后到达2，从0向上移动两次后到达2，因此到达R=2，U=2，因此达到C(2,2+2) = C(2,4) = 4!/2!2! = 6。对R和U做同样的操作，从(2,2)到(4,4)的移动次数是C(2,2+2) = C(2,4) = 4!/2!2! = 6

根据第一条规则，我们得到了所有可能的移动次数：6 * 6 = 36

使用动态编程：

dp[k, i, j] = number of paths from checkpoint k to (i, j)
dp[k, i, j] = dp[k, i - 1, j] +        top
              dp[k, i, j - 1]          right

答案是检查点之间dp值的乘积。

注意：您可以通过意识到矩阵中的实际位置并不重要，只需要位置和检查点位置之间的相对距离来避免第一维。

这个特殊问题的关键是找到子点之间的路径数（根据它们各自的位置排序后），然后乘以所有路径数。

这里的解决方案是：

1.从"源"到"目标"对点进行排序

示例：如果起点是[0,0]，终点是[10,10]，中间点是[5,6]，[2,4]&[8,8]，则排序的点（包括源和目的地）将是11X11矩阵中的[0,0]、[2,4]、[5,6]、[8,8]、[10,10]

2.查找从源到下一个子目的地的路径数（最好使用DP）。（按排序点的顺序）

在上面的例子中，需要计算的路径数量将在以下点之间：

[0,0]至[2,4]

[2,4]至[5,6]

[5,6]至[8,8]

[8,8]至[10,10]

3.查找以上4个子路径的乘积

就是

这里有一个从源和目的地查找路径数的解决方案（请参阅DP方法）。您不需要将矩阵作为参数传递，因为这是不需要的。只需要形式为[x，y][x，y]的源点和目标点。除了链接中的代码外，其他部分（对点进行排序和相乘）必须如上所述进行