在网格中找到大多数K移动和最高分数的路径

Find path in grid with mostly k moves and maximum score

本文关键字：最高分路径移动网格大多数更新时间：2023-10-16

我正在尝试解决以下问题：由正整数的M网格给出N，找到一个最大得分，可以从左上角到右下角。路径的分数是您在上述路径上收集的所有值的总和(在同一单元格上停留是可能的转弯(。同样，路径的长度必须主要是L。例如：假设我们有以下网格(N = 5，M = 6(：

1  1  1  1  1  1
10 10 1  1  1  1
1  10 1  10 10 10
1  10 10 10 1  10
1  1  1  1  1  1

如果L = 10，答案应为83。

1
10 10
   10 
   10 10 10 1 10
              1

并在10个转弯之一上停留。

如果L = 11，答案应为102。您可以通过在原始网格中遵循10路径来得到。

我提出了复杂性o(n^2*m^2*l(的算法，但这太慢了，因为n和m可以达到100，而L可以达到1000。我的算法的基本想法如下：计算每个元组(i1, j1, i2, j2, k)的答案，其中(i1, j1)是起始单元，(i2, j2)是目标单元格，而k是路径长度。我从k = 0开始，然后延长到L。您对我如何优化这个想法有任何建议吗？甚至对问题的全新见解？

一种可能的方法是为表格的每个元组进行计算( i ， j ， k (，长度路径的最大分数恰好 k ，从单元格(0，0(开始，以( i ， j 。让我们将此值表示为最佳( i ， j ， k (。

按照惯例，如果没有长度k的路径k从(0，0(开始，并以( i ， j (结尾，我们希望拥有最好的( i ， j ， k (= -Infinity。

对于 k = 1，有一个长度1的单个路径，该路径从上左上角开始，因此：

：

最佳(0，0，1(= input_matrix(0，0(。
最佳( i ， j ，1(= -Infinity，如果( i ， j (为不是(0，0(。

对于 k > 1我们可以使用最佳( i ， j ， k (的值来计算。最佳( *， *， k -1(：

best( i ， j ， k (= input_matrix( i ， j em>( max(best( a ， b ， k -1((，其中 max被所有 a， b ，使得单元格( a ， b (是细胞的邻居( i j (。

现在，已经构建了最佳矩阵，可以通过计算来找到原始问题的答案：

max(best( n -1， m - 1， k ((，其中 max被占用了所有k 在1和 l 之间。

这种方法的复杂性是 o (n·m·l(。