没有进位标志的大整数加法

big integer addition without carry flag

本文关键字：整数 进位 标志      更新时间：2023-10-16

在汇编语言中，通常有一个指令添加两个操作数和一个进位。如果要实现大整数加法，只需添加不带进位的最低整数和带有进位的下一个整数。如何在无法访问携带标志的 C 或 C++ 中有效地做到这一点？它应该适用于多个编译器和体系结构，所以我不能简单地使用内联汇编等。

您可以使用

"钉子"（GMP中的术语）：在表示数字时，不要使用uint64_t的所有64位，而只使用其中的63位，顶部位为零。这样，您可以通过简单的位移来检测溢出。你甚至可能想要少于63。

或者，你可以做半字算术。如果您可以进行 64 位算术运算，请将您的数字表示为 uint32_t s 数组（或者等效地，将 64 位字拆分为上部和下部 32 位块）。然后，当对这些 32 位整数进行算术运算时，您可以先提升到 64 位在那里进行算术运算，然后转换回来。这可以让您检测进位，如果您没有"乘法 hi"指令，它也有利于乘法。

如另一个答案所示，您可以通过以下方式检测无符号添加中的溢出：

uint64_t sum = a + b;
uint64_t carry = sum < a;

顺便说一句，虽然在实践中这也适用于有符号算术，但您有两个问题：

  • 它更复杂
  • 从技术上讲，溢出有符号整数是未定义的行为

所以你通常最好坚持使用无符号的数字。

您可以计算出进位，因为如果您通过添加两个数字来溢出，则结果将始终小于其他两个值中的任何一个。

换句话说，如果a + b小于a，它就会溢出。当然，这是针对a和b的正值，但您几乎肯定会将其用于bignum库。

不幸的是，进位引入了额外的复杂性，因为添加最大可能的值加上一个进位将给你与开始时相同的价值。因此，您必须将其作为特例处理。

像这样：

carry = 0
for i = 7 to 0:
    if a[i] > b[i]:
        small = b[i], large = a[i]
    else:
        small = a[i], large = b[i]
    if carry is 1 and large is maxvalue:
        c[i] = small
        carry = 1
    else:
        c[i] = large + small + carry
        if c[i] < large:
            carry = 1
        else
            carry = 0

实际上，您可能还需要考虑不使用数组元素中的所有位。

我过去曾实现过库，其中最大"数字"小于或等于它可以容纳的最高值的平方根。因此，对于 8 位（八位字节）数字，您可以存储从 0 到 15 的值 - 这样，将两位数相乘并添加最大进位将始终适合八位字节，使溢出检测变得毫无意义，尽管代价是一些存储。

同样，16 位数字的范围为 0 到 255，因此它不会在 65536 处溢出。

事实上，我有时会将其限制为更多，确保人工包装值是 10 的幂（因此八位字节将容纳 0 到 9，16 位数字将容纳 0 到 99，32 位数字从 0 到 9999，依此类推。

这在空间上有点浪费，但使文本之间的转换（例如打印您的数字）非常容易。

您可以通过检查结果小于操作数（任何操作数都可以）来检查无符号类型的携带。

只需以 0 开始。

如果我

理解正确，你想为你自己的大整数类型写你自己的加法。

您可以使用一个简单的函数来做到这一点。无需担心第一次运行的携带标志。只需从右到左，逐个数字和进位标志（在该函数内部）添加，从进位 0 开始，并将结果设置为 （a+b+carry） %10，将进位设置为 （a+b+carry）/10。

此 SO 可能是相关的：如何在 C 语言中实现 big int

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