Introsort(快速排序+堆排序）实现和复杂性

如果你有一个区间（范围或数组），在得到一个空（或一个元素）区间之前，你必须将区间一分为二的次数是log(2,N)，这只是一个数学事实，如果你愿意，你可以很容易地计算出来。如果快速排序一切顺利，出于同样的原因，它应该递归log(2,N)次（在每个递归级别，它必须处理区间的所有值，这会导致整个算法的O(N*log(2,N))复杂性）。问题是，快速排序可能需要更多的递归（如果它在选择枢轴值时不断变得"不走运"，这意味着它不会将间隔一分为二，而是以不平衡的方式）。更糟糕的是，quicksort最终可能会重复出现N次，这对于生产质量实现来说绝对是不可接受的。

在2*log(2,N)切换到堆排序通常是一个很好的启发式方法，可以检测到太多的递归。

从技术上讲，您可以根据堆排序与快速排序的经验性能来确定什么限制是最好的。但这样的测试高度依赖于应用程序（你在排序什么？你如何比较元素？元素交换有多便宜？等等）。因此，大多数一刀切的实现，如std::sort，只会选择一个合理的限制，如2*log(2,N)。

@Mikael Persson关于深度限制为何为2*log（2，N）的说法部分正确。这不仅仅是一个好的启发式，或者一个合理的限制。

事实上，正如你可能已经猜到的（从第二个问题中描述的），这有一个重要的数学原因：在波浪号表示法（搜索波浪号表示法）中，quicksort平均进行~2*log（2，N）比较。在big oh表示法中，这相当于O（N*log（2，N））。

这就是为什么当递归深度超过2*log（2，N）时，introsort切换到heapsort（具有渐近O（N*log（2））复杂性）。你可以把它看作是一种不常见的事情，很可能意味着单凭枢轴选择和快速排序出现问题就会导致O（N^2）的复杂性。

你可以在这里找到一个简短的数学证明，快速排序的平均比较次数（幻灯片21）。