有效数字在增加

Significant digits increasing

本文关键字：增加 有效数字      更新时间：2023-10-16

让我们，

float dt;

我从文本文件中读取dt作为

inputFile >> dt;

然后我有一个for循环，作为

for (float time=dt; time<=maxTime; time+=dt)
{
    // some stuff
}

当dt=0.05和我输出std::cout << time << std::endl;时，

0.05
0.10
...
7.00001
7.05001
...

那么，为什么数字的数量在一段时间后会增加呢？

因为不是每个数字都可以用IEEE754浮点值表示。在某个时刻，你会得到一个不太能代表的数字，计算机将不得不选择最近的一个。

如果你在Harald Schmidt's excellent online converter中输入0.05，并引用IEEE754-1985上的维基百科条目，你会得到以下比特（我对此的解释如下）：

   s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
   0 01111010 10011001100110011001101
     |||||||| |||||||||||||||||||||||
128 -+||||||| ||||||||||||||||||||||+- 1 / 8388608
 64 --+|||||| |||||||||||||||||||||+-- 1 / 4194304
 32 ---+||||| ||||||||||||||||||||+--- 1 / 2097152
 16 ----+|||| |||||||||||||||||||+---- 1 / 1048576
  8 -----+||| ||||||||||||||||||+----- 1 /  524288
  4 ------+|| |||||||||||||||||+------ 1 /  262144
  2 -------+| ||||||||||||||||+------- 1 /  131072
  1 --------+ |||||||||||||||+-------- 1 /   65536
              ||||||||||||||+--------- 1 /   32768
              |||||||||||||+---------- 1 /   16384
              ||||||||||||+----------- 1 /    8192
              |||||||||||+------------ 1 /    4096
              ||||||||||+------------- 1 /    2048
              |||||||||+-------------- 1 /    1024
              ||||||||+--------------- 1 /     512
              |||||||+---------------- 1 /     256
              ||||||+----------------- 1 /     128
              |||||+------------------ 1 /      64
              ||||+------------------- 1 /      32
              |||+-------------------- 1 /      16
              ||+--------------------- 1 /       8
              |+---------------------- 1 /       4
              +----------------------- 1 /       2

符号0为正。指数由映射到左边数字的一位表示：64+32+16+8+2 = 122 - 127 bias = -5，因此乘数为2-5或1/32。127偏差允许表示非常小的数字（如接近零而不是具有大幅度的负数）。

尾数稍微复杂一些。对于每一位，您都可以在右手边累加数字（在添加隐式1之后）。因此，您可以将该数字计算为{1, 1/2, 1/16, 1/32, 1/256, 1/512, 1/4096, 1/8192, 1/65536, 1/131072, 1/1048576, 1/2097152, 1/8388608}的总和。

当你把所有这些加起来，你得到1.60000002384185791015625。

当您将的乘以乘法器1/32（之前根据指数位计算）时，您得到0.0500000001，因此您可以看到0.05已经没有精确表示。尾数的这种比特模式实际上与0.1相同，但指数是-4而不是-5，这就是为什么0.1 + 0.1 + 0.1很少等于0.3（这似乎是最受欢迎的面试问题）。

当你开始将它们相加时，这个小错误会累积起来，因为你不仅会在0.05本身中看到错误，而且在累积的每个阶段都可能引入错误——并不是所有的数字0.1、0.15、0.2等等都可以精确地表示。

最终，如果使用默认精度，错误将变得足够大，从而开始显示在数字中。你可以通过选择自己的精度来推迟一段时间，比如：

#include <iostream>
#include <iomanip>
:
std::cout << std::setprecison (2) << time << 'n';

它不会修复变量值，，但在错误变得可见之前，它会给你更多的喘息空间。

顺便说一句，有些人建议避免使用std::endl，因为它会强制刷新缓冲区。如果您的实现本身就在运行，那么当您发送换行符时，终端设备也会发生这种情况。如果您已将标准输出重定向到非终端，则可能不希望对每一行进行刷新。与你的问题无关，在绝大多数情况下可能不会有真正的区别，这只是我想提出的一点。

IEEE浮点使用二进制数字系统，因此无法准确存储十进制数字。当你把其中的几个加在一起时（有时只有两个就足够了），代表性错误可能会累积起来并变得可见。

有些数字不能用浮点或基数为2的数字精确表示。如果我记得正确的话，其中一个数字是十进制的0.05（以2为基数导致小数无限重复）。另一个问题是，如果您将浮点打印到文件（以10为基数），然后将其读回，您可能会得到不同的数字，因为基数不同，这可能会在将小数基数2转换为小数基数10时造成问题。

如果你想要更高的精度，你可以尝试搜索bignum库。不过，这将比浮点运算慢得多。处理精度问题的另一种方法是尝试将数字存储为具有分母/分母的"公共分数"（即1/10而不是0.1，1/3而不是0.333.等-甚至可能有库，但我还没有听说过），但这对pi或e等无理数不起作用。

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