将无理分数转换为四个适当/不适当分数的集合

Converting irrational fractions to a set of four proper/improper fractions

本文关键字：四个 不适当 集合 转换      更新时间：2023-10-16

这是我尝试做的示例代码。当然，这需要很长时间才能处理（410^8）。

编辑：

目标是允许在0.0*/1和100.*/1的近似范围内输入实数，例如4577473343788374/1、8.5476457654/1，并使用四个分数得出最佳可能近似值，所有分数都具有两个指定约束（例如16到400）之间的整数。

分数表示机器中需要精确正时的轮齿，并且可以在给定空间内。想想Antikythera机制。

主要目标不是在找到接近近似值时停止，而是找到最佳近似值，即使以牺牲效率为代价，也无法在上进行改进。

有没有专门针对这类问题的算法？

for(auto_t num_1 = 20; num_1 != 431; num_1++)
  {
    for(auto_t num_2 = 20; num_2 != 431; num_2++)
      {
        for(auto_t num_3 = 20; num_3 != 431; num_3++)
          {
            for(auto_t num_4 = 20; num_4 != 431; num_4++)
              {
                for(auto_t num_5 = 20; num_5 != 431; num_5++)
                  {
                    for(auto_t num_6 = 20; num_6 != 431; num_6++)
                      {
                        for(auto_t num_7 = 20; num_7 != 431; num_7++)
                          {
                            for(auto_t num_8 = 20; num_8 != 431; num_8++)
                              {
        nOutput = double(num_1*num_2*num_3*num_4)/(num_5*num_6*num_7*num_8);
                              }
                          }
                      }
                  }
              }
          }
      }
 }

我已经写了一些相当快速的东西，并返回了看起来准确的结果。

位于此处（64位、Vista或更新版本）：http://1drv.ms/1zgpQnB

示例：

π~（323*379*413*388）/（235*283*229*410）使用20到430的范围，我如何确认这尽可能准确？或者不是（我怀疑不是）。

更多：

pi~（381 701 341 523）/（309 573 128 669），以25～750为约束。

cos（45d）~~（617 713 723 92）/（485 734 263 442）"

这种类型的循环效率非常低。您正在检查411^8~8x10^20的可能性。正如Ben Voigt所评论的，你可以将其减少大约4倍^2~600，通过选择一组无序的分母和一组有序的分子，但这仍然很可怕（10^17）。

一种快速的简化方法是制作一个分子的排序集合和分母的排序集合，然后循环遍历分母，只检查π乘以分母的正上方和正下方的分子。如果分子的数量是n，如果你有效地做到这一点，这需要大约n log n个步骤。这只是几十亿个步骤，大部分时间都花在了对列表进行排序上，所以你实际上可以做到这一点，你可以并行地对数字进行排序，这样它就可以很容易地扩展。

使用晶格归约对此进行了改进。

然而，以这种方式通过反复试验找到这样一个近似值的整个想法是可怕的。数学中有一个领域叫做丢番图近似，它包括用有理数近似无理数。你可以使用简单连分式理论或Farey序列快速找到好的近似值。这里有一种快速的方法可以找到很多不错的有理近似：从3/1<pi<4/1。将分子和分母相加得到7/2。将圆周率与新分数进行比较。它更低，所以我们有3/1<pi<7/2.迭代。这将达到pi的简单连续部分的所有收敛点，例如22/7、355/113和5419351/1725033。在3.011这样的尴尬情况下，有一些简单的方法可以稍微加快速度，在这种情况下，你可以反复调整一个分数，而不是另一个。

如果出于某种原因，你执着于分数的乘积（这是一个竞赛问题吗？），那么我认为你最好找到所有好的有理近似，然后把它们分解成分子和分母在你指定范围内的分数。

使用以下算法，只需2.08亿步即可轻松完成：

  1. 对1到2.08亿之间的整数进行迭代。

  2. 对于每个整数，以该数字为分子，计算接近所需分数的分母。

  3. 对于每一个更接近前一个最佳分子/分母对的分子/分母，看看是否可以根据需要计算分子和分母。如果是，请更新最佳配对。

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