生成给定素数因子分解的数的所有除数

Generating all divisors of a number given its prime factorization

本文关键字：分解      更新时间：2023-10-16

我想找到[1，107]范围内的所有数的除数。我知道它可以在O（sqrt（n））中求解。但在此之前，必须对Eratosthenes进行筛选，可以很容易地对其进行修改，以获得一个数的素数因子分解（通过跟踪每个数的一个素数因子）。所以我想知道使用素数分解生成所有因子会更有效吗
设n=p1k1*p2k<2**pmkm

我认为这个符号可以在筛后的O（m+∑kI）中得到
经过一番思考，我想出了以下代码来生成因子：

int factors[]={2,5};        // array containing all the factors
int exponents[]={2,2};      // array containing all the exponents of factors
                            // exponents[i] = exponent of factors[i]
vector <int> ans;           // vector to hold all possible factors
/*
*   stores all possible factors in vector 'ans'
*   using factors and exponents from index l to r(both inclusive)
*/
void gen(int factors[],int exponents[],vector<int>& ans,int l,int r)
{
    if(l==r)                        
    {
        int temp = 1;
        for(int i=0;i<=exponents[l];i++)
        {
            ans.push_back(temp);
            temp *= factors[l];
        }
        return;
    }
    gen(factors,exponents,ans,l+1,r);
    int temp=factors[l];
    int size = ans.size();
    for(int i=1;i<=exponents[l];i++)
    {
        for(int j=0;j<size;j++)
        {
            ans.push_back(ans[j]*temp);
        }
        temp *= factors[l];
    }
}

我认为它的时间复杂度至少是Ω（无因子）=Ω（π（1+kI））。

所以我的问题是：
1） 以这种方式生成因子比通常的（O（sqrt（n））循环方法）更快吗
2） 上面给出的代码可以优化吗？

第一个最明显的优化是预先分配答案向量。你确切地知道会有多少因子（因为你已经给出了π（1+ki）的公式）。

如果你自己管理堆栈而不是使用递归，你会得到最优化的解决方案（每个因子只需要1次查找和1次乘法）。

像这样的东西？

int factors_count = 1;
for (int i = 0; i < r; ++i)
{
    factors_count *= 1+exponents[i];
}
ans.resize(factors_count);
ans[0] = 1;
int count = 1;
for (int stack_level = 0; stack_level < r; ++stack_level)
{
    const int count_so_far = count;
    const int prime = factors[stack_level];
    const int exponent = exponents[stack_level];
    int multiplier = 1;
    for (int j = 0; j < exponent; ++j)
    {
        multiplier *= prime;
        for (int i = 0; i < count_so_far; ++i)
        {
            ans[count++] = ans[i] * multiplier;
        }
    }
}

我甚至还没有试过编译它，所以请注意。

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