三次方贝塞尔曲线是否完全包含在控制点的边界框中？

Is a cubic Bézier curve completely contained by the bounding box of its control points?

本文关键字：控制包含边界三次方贝塞是否曲线更新时间：2023-10-16

可能是一个非常简单的问题（我只是想确保我是对的）。标题不是100%正确，但下面是我需要的：

我想计算三次贝塞尔曲线的边界框（矩形）。我知道包含曲线控制点的矩形并不是真正的边界框，它很可能更大，但我想确保它不能更小，也就是说，它将始终包含曲线。

我有由多条连续的三次贝塞尔曲线定义的样条曲线，我想有它的边界框，或者最接近它的东西（我不喜欢复杂的公式来计算它，但如果有一些不太复杂的编码方法，我很乐意知道）。

澄清：我所说的"包含曲线控制点的矩形"是指这样计算的矩形：我将控制点的最小X和最小Y坐标作为矩形的左上角，控制点的最大X和最大Y坐标作为长方形的右下角。（Y轴从上到下）。然后我想确保曲线确实位于这个矩形内。

希望你能理解我的意思：）

说维基百科：

Bézier曲线在计算机图形学中被广泛用于对平滑曲线进行建模。由于曲线完全包含在其控制点的凸包中，

是的。

是的，这是一个安全的假设（忽略任何精度问题）。

次-nBezier曲线（我们称之为A）可以表示为二次-（n-1）Bezier曲线的线性插值（我们称它们为B和C。如果B和C在边界框内，那么A显然也是如此。但是你可以递归地应用它B和C都可以表示为二阶-（n-2）曲线的线性插值，依此类推。基本情况是递归到一阶曲线，这只是控制点本身的线性插值。

简短回答：是。

对于具有控制点B0、B1、B2和B3的三次Bézier曲线，沿着曲线B（t）的每个点通过以下公式计算：

B0*(1-t)^3 + B1*3*(1-t)^2*t + B2*3*(1-t)*t^2 + B3*t^3

重要的是，如果我们观察这些系数，它们都大于或等于0，它们的总和是

(1-t)^3 + 3*(1-t)^2*t + 3*(1-t)*t^2 + t^3 = 1

在数学中，这被称为凸组合。沿着Bézier曲线的每个点都是控制点的凸组合。所有凸组合的集合称为凸包，因此曲线以控制点的凸包为界。凸包不包含比最高控制点更高的任何东西，也不包含比左est控制点更左的东西，等等。找到控制点的最小值和最大值x和y就足以找到包含Bézier样条曲线的矩形。

顺便说一句，关于点是控制点的凸组合的观点对于所有的Bézier曲线都是正确的，但对于这个问题，你只需要关心三次曲线。