大数的有效幂(我说的是Googols)

我正在解决一个简单的组合问题，其解为2^（n-1）。

唯一的问题是1<=n<=2^31-1（带符号32位整数的最大值）

我试着使用Java的BigInteger类，但对于2^31/10^4及更大的数字，它会超时，所以这显然不起作用。

此外，我仅限于使用Java或C++的内置类。

知道我需要速度，我选择用C++构建一个对字符串进行运算的类。

现在，当我进行乘法运算时，我的程序会像我们在纸上进行乘法运算一样进行乘法运算，以提高效率（而不是重复添加字符串）。

但即使这样，我也不能把2本身乘以2^31-1倍，这还不够有效。

所以我开始阅读关于这个问题的文本，我找到了。。。

2^n = 2^(n/2) * 2^(n/2) * 2^(n%2)（其中/表示整数除法，%表示模数）

这意味着我可以用对数乘法来求解幂运算。但对我来说，我无法回避如何将这种方法应用于我的代码？我该如何选择下界？什么是最有效的方法来跟踪我最终乘法所需的各种数字？

如果有人知道如何解决这个问题，请详细说明（感谢示例代码）。

更新

感谢大家的帮助！显然，这个问题是要以现实的方式解决的，但我确实设法通过只执行ceil（log2（n））迭代的幂函数来超越java.math.BigInteger。

如果有人对我制作的代码感兴趣，这里是…

using namespace std;
bool m_greater_or_equal (string & a, string & b){ //is a greater than or equal to b?
    if (a.length()!=b.length()){
        return a.length()>b.length();
    }
    for (int i = 0;i<a.length();i++){
        if (a[i]!=b[i]){
            return a[i]>b[i];
        }
    }
    return true;
}
string add (string& a, string& b){
    if (!m_greater_or_equal(a,b)) return add(b,a);
    string x = string(a.rbegin(),a.rend());
    string y = string(b.rbegin(),b.rend());
    string result = "";
for (int i = 0;i<x.length()-y.length()+1;i++){
    y.push_back('0');
}
int carry = 0;
for (int i =0;i<x.length();i++){
    char c = x[i]+y[i]+carry-'0'-'0';
    carry = c/10;
    c%=10;
    result.push_back(c+'0');
}
if (carry==1) result.push_back('1');
return string(result.rbegin(),result.rend());
}
string multiply (string&a, string&b){
    string row = b, tmp;
    string result = "0";
    for (int i = a.length()-1;i>=0;i--){
        for (int j= 0;j<(a[i]-'0');j++){
            tmp = add(result,row);
            result = tmp;
        }
        row.push_back('0');
    }
    return result;
}
int counter = 0;
string m_pow (string&a, int exp){
    counter++;
    if(exp==1){
        return a;
    }
    if (exp==0){
        return "1";
    }
    string p = m_pow(a,exp/2);
    string res;
    if (exp%2==0){
        res = "1";  //a^exp%2 is a^0 = 1
    } else {
        res = a;   //a^exp%2 is a^1 = a
    }
    string x = multiply(p,p);
    return multiply(x,res);
    //return multiply(multiply(p,p),res); Doesn't work because multiply(p,p) is not const
}
int main(){

    string x ="2";
    cout<<m_pow(x,5000)<<endl<<endl;
    cout<<counter<<endl;
    return 0;
}

2^(2^31 - 1) = 2^2147483647 = 
880806525841981676603746574895920 ... 7925005662562914027527972323328
(total: 646,456,993 digits)

MyBigInt pow(MyBigInt a, int p) {
    if (!p) return MyBigInt.One;
    MyBigInt halfPower = pow(a, p/2);
    MyBigInt res = (p%2 == 0) ? MyBigInt.One : a;
    return res * halfPower * halfPower;
}