使用动态编程进行更改的所有解决方案

all solutions to change making with dynamic programming

本文关键字：解决方案 动态 编程      更新时间：2023-10-16

我在复习算法课的讲义时，开始思考这个问题：

给定具有不同价值的不同类型的硬币，找到所有硬币配置，将其相加为一定的总和，而不会重复

在课堂上，我们解决了这个问题，找出求和的所有可能方法的数量，以及求和的最少硬币数量。然而，我们从未试图真正找到解决方案。

我在考虑用动态编程来解决这个问题。

我带来了递归版本（为了简单起见，我只打印解决方案）：

void solve(vector<string>& result, string& currSoln, int index, int target, vector<int>& coins)
{
    if(target < 0)
    {
        return;
    }
    if(target == 0)
    {
        result.push_back(currSoln);
    }
    for(int i = index; i < coins.size(); ++i)
    {
        stringstream ss;
        ss << coins[i];
        string newCurrSoln = currSoln + ss.str() + " ";
        solve(result, newCurrSoln, i, target - coins[i], coins);
    }
}

然而，我在尝试使用DP来解决问题时遇到了困难。我有两个主要障碍：

  1. 我不知道应该使用什么数据结构来存储以前的答案
  2. 我不知道我的自下而上的过程（使用循环来替换递归）应该是什么样子

欢迎任何帮助，并将感谢一些代码！

谢谢你抽出时间。

在dp解决方案中，您可以生成一组中间状态，以及有多少种方法可以实现这些状态。那么你的答案是最终处于成功状态的数字。

所以，对于变化计数，状态是指你得到了特定的变化量。计数是做出改变的方式的数量。成功的状态是你做出了正确的改变。

要从计数解决方案到枚举它们，您需要保留这些中间状态，并在每个状态中记录所有转换到该状态的状态，以及有关如何转换的信息。（在零钱计数的情况下，如何添加哪枚硬币。）

现在，有了这些信息，您可以从成功状态开始，递归地通过dp数据结构向后，以实际找到解决方案，而不是计数。好消息是，你所有的递归工作都是有效的——你总是只寻找成功的路径，所以不要在不起作用的事情上浪费时间。但是，如果有10亿个解决方案，那么就没有什么捷径可以快速打印出10亿个方案。

不过，如果你想稍微聪明一点，你可以把它变成一个可用的枚举。例如，你可以说"我知道有4323431个解决方案，第432134个是什么？"找到这个解决方案会很快。

很明显，您可以采用动态编程方法。不明显的是，在大多数情况下（取决于硬币的面额），你可以使用贪婪算法，这可能更有效。参见Cormen，Leiserson，Rivest，Stein:算法导论第二版，问题16.1。

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