最大化双分区的 GCD(最大公约数）之和?

Maximize the sum of GCDs (Greatest Common Divisors) of a bipartition?

本文关键字：最大公约数 之和 GCD 分区 最大化      更新时间：2023-10-16

给定一个正数数组。我想将数组分成 2 个不同的子集，以便它们的 gcd(最大公约数)的总和最大。

示例数组：{6,7,6,7}。

答：两个必需的子集是：{6,6}和{7,7};它们各自的gcd是6和7，它们的sum = 6+7=13;这是可能的最大gcd总和。

Gcd：{8,12}的 Gcd 是{4}，因为 4 是除以 8 和 12 的最大数字。

注意：gcd(X)=X子集仅包含一个元素的情况下。

我的方法：通过暴力强迫，我找到了数组的所有可能的子序列，然后，我找到了最大总和，但如果输入大小大于 30 个数字，这不起作用。我正在寻找一种更有效的方法。

额外：任何输入数字的最大大小为 10^9，时间限制：-1s 似乎不错，输入大小可能高达 10^5

我认为这实际上是一个简单的问题，冒充一个困难的问题。

首先，让我们忽略值多次出现的可能性。显然，最好将一个值的所有副本放在同一个集合中，因为将它们中的一些移动到其他地方只会损害 GCD(编辑：除非只有一个不同的值)。因此，我们假设所有元素都是不同的。此外，让 M 是任何元素的最大值。

这样想：有一个微不足道的解决方案，即在一侧取最高的元素，其余的元素在另一侧。"其余所有" - GCD 可能为 1(当然可能更高)，因此此解决方案为您提供 M+1。

任何具有多个不同元素的输入子集的 GCD 都不能高于 M/2(因为这样的除数必须乘以另一个除数(至少为 2)才能得到不高于 M 的原始值)。所以编辑：最优解不能由两个集合组成，每个集合有多个不同的元素。它必须是一个元素与所有其他元素。

现在考虑两个最高的元素，值 M 和 M-d 表示一些 d。如果我们选择它们都不作为单例，它们都处于大群侧，这意味着该组最多有 gd(因为如果 g|M 和 g|M-d 然后 g|d);单例的贡献将不超过 M-d-1。因此，总分最多为 M-1 - 也就是说，小于我们在选择最高值时获得的分数。因此，输入中的最高或第二高(非重复)值必须位于其自己的集合中。

因此，您必须执行以下操作：

  • 处理只有一个不同值的琐碎情况。
  • 否则，获得 2 个最高元素;
  • 计算所有 n-2 个最低元素的 GCD g_0。
    • 计算 GCD 的g_with_highest = GCD(g_0， M
  • ) 和 g_with_second_highest = GCD(g_0， M-d)。
    • 通过将 M +
  • g_with_second_highest 与 (M-d) + g_with_highest 进行比较来选择单例。
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