找到所有可能的点对之间的力总和?

Find the summation of forces between all possible pairs of points?

本文关键字：之间 有可能      更新时间：2023-10-16

有n点，每个点有两个属性：

1.位置(从轴)

2.吸引力值(整数)

两点A和B之间的吸引力由下式给出：

Attraction_force(A, B) = (distance between them) * Max(Attraction_val_A, Attraction_val_B);

找到所有可能的点对之间所有力的总和？

我尝试通过计算和添加所有对之间的力

for(int i=0; i<n-1; i++) {
for(int j=i+1; j<n; j++) {
force += abs(P[i].pos - P[j].pos) * max(P[i].attraction_val, P[j].attraction_val);
}
}

例：

Points            P1 P2 P3
Points distance:  2  3  4
Attraction Val:   4  5  6
Force = abs(2 - 3) * max(4, 5) + abs(2 - 4) * max(4, 6) + abs(3 - 4) * max(5, 6) = 23

但这需要O(n^2)时间，我想不出进一步减少它的方法！！

解决方案的方案：

  1. 按吸引力值对所有点进行排序，并从吸引力最低的点开始逐个处理。
  2. 对于每个点，您必须快速计算到所有先前添加的点的距离总和。这可以使用任何在线范围总和查询问题解决方案(如段树或 BIT)来完成。关键思想是，左侧的所有点实际上没有不同，它们的坐标总和足以计算到它们的距离总和。
  3. 对于每个新添加的点，您只需将该距离总和(在步骤 2 中获得)乘以点的吸引力值并将其添加到答案中。

我为了发明这个解决方案而做出的直观观察：

  1. 我们这里有两个"坏"函数(有点"离散")：max和模(距离)。
  2. 我们可以通过对点进行排序并按特定顺序处理它们来摆脱max。
  3. 如果我们分别处理左侧和右侧的点，我们可以摆脱模。
  4. 在所有这些变换之后，我们必须计算一些东西，经过一些简单的代数变换后，它转换为在线 RSQ 问题。

算法：

O(N 2)

是最佳的，因为您需要所有可能的对之间的实际距离。

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